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10．如圖，設三棱錐S-ABC的三個側棱與底面ABC所成的角都是60°,∠BAC=60°，且SA⊥BC．

(1)求證：S-ABC為正三棱錐；

(2)已知SA=a，求S-ABC的全面積．

(1)證明：正棱錐的定義中，底面是正多邊形；頂點在底面上的射影是底面的中心，兩個條件缺一不可．作三棱錐S-ABC的高SO，O為垂足，連結AO并延長交BC于D．

因為SA⊥BC，所以AD⊥BC．

又側棱與底面所成的角都相等，從而O為△ABC的外心，OD為BC的垂直平分線，

所以AB=AC．

又∠BAC=60°，故△ABC為正三角形，且O為其中心．所以S－ABC為正三棱錐．

(2)解：只要求出正三棱錐S-ABC的側高SD與底面邊長，則問題易于解決．

在Rt△SAO中，由于SA=a，∠SAO=60°，所以SO=a，AO=a．

因O為重心，所以AD=AO=a，BC=2BD=2ADcot60°=a，OD=AD=a．

在Rt△SOD中，SD²=SO²+OD²=(a)²+(a)²=，則SD=a．

于是，(S_S－ABC)_全=·(a)²sin60°+3··a·a=a²．

考查棱柱、棱錐的側面積及體積的計算方法．要求會用棱柱、棱錐的側面積及體積公式求棱柱、棱錐的側面積及體積,會運用“分解與組合”(即“割補法”)、“等積變形”等方法，使問題化繁為簡，化難為簡，化未知為已知．

求體積常見方法有：①直接法(公式法)；②分割法；③補形法．

9．已知E、F分別是棱長為a的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱A₁A、CC₁的中點，求四棱錐C₁-B₁EDF的體積．

解法一：連結A₁C₁、B₁D₁交于O₁，過O₁作O₁H⊥B₁D于H，

∵EF∥A₁C₁，∴A₁C₁∥平面B₁EDF．

∴C₁到平面B₁EDF的距離就是A₁C₁到平面B₁EDF的距離．

∵平面B₁D₁D⊥平面B₁EDF，

∴O₁H⊥平面B₁EDF，即O₁H為棱錐的高．

∵△B₁O₁H∽△B₁DD₁，∴O₁H==a，

V=S·O₁H=··EF·B₁D·O₁H=··a·a·a=a³．

解法二：連結EF，設B₁到平面C₁EF的距離為h₁，D到平面C₁EF的距離為h₂，則h₁+h₂=B₁D₁=a，∴V=V+V=·S·(h₁+h₂)= a³．

解法三：V=V－V－V=a³．

8．長方體的表面積為32cm²，體積為8 cm²，長、寬、高成等比數列，則長方體所有棱之和為_____　 _____．32cm

7．已知正四棱錐的體積為12，底面對角線的長為，則側面與底面所成的二面角等于_______________。

6．兩相同的正四棱錐組成如圖1所示的幾何體，可放棱長為1的正方體內，使正四棱錐的底面ABCD與正方體的某一個平面平行，且各頂點均在正方體的面上，則這樣的幾何體體積的可能值有　　　　　　　　　　　 ( D　 )

A．1個　　　　　　　　　　 B．2個　 　　　　　　　　　 C．3個　　　　　　　　　　 D．無窮多個

5．已知正四面體ABCD的表面積為S，其四個面的中心分別為E、F、G、H．設四面體EFGH的表面積為T，則等于　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　 A　 )

A． 　　　　　　　　 　　　 B．　　　　　　　　　　　　　 C．　　　　　　　　　 　　　 D．

4．如圖，在多面體ABCDEF中，已知面ABCD是邊長為3的正方形，EF∥AB，EF，EF與面AC的距離為2，則該多面體的體積為　　　　　　　　　 　　　　　　　　　( D　 )

A．　　　　 　　　　　 B．5　　　　 　　　　　　 C．6　　　　 　　　　　　　 D．

3．長方體的一條對角線與經過它的一端點的一個平面成30°角，與經過這個端點的另一個平面成45°角，若這條對角線長為2，則這個長方體的體積為　　　　　 (　 D　 )

A．　　　　 　　 　　　 B．　　　　　 　 　　　　　 C．2　　　　　　　 　 　　　　　 D．

2．棱錐體積為1，過它的高的兩個三等分點分別作平行于底面的截面，把棱錐截成三部分，則中間部分的體積是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　 C　 )

A．　　　　　　 　 B．　　　　　　 　 C．　 　　　　　 D．

1．底面邊長為，斜高為2的正三棱錐的體積等于　　　　　　　　　　　 (　 A　 )

A．3　　　　　　　 　 B．9　　　　　　 　　 C．6　　 　　　　　　　 D．