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1. 我國古代臣子寫給君王的呈文有各種不同的名稱, 戰國時期稱”書”, 到了漢代, 則分為:章,奏,表,議四類.劉勰《文心雕龍·章表篇》說“章以謝恩,奏以按劾,表以陳情,議以執異”,可見表雖是一種公文文體,但并不是表達對國家大事的意見主張,而只是古代臣子為了向皇帝陳述自己的請求而使用的文體,因此,奏議類的公文是以議論為主,而章表類的公文則是以抒情為主。中國文學史上有一些著名的以“表”這種文體寫作的文章,歷來收到人們的稱道,如孔融的《薦禰衡表》、曹植的《求自試表》、諸葛亮的《出師表》、李密的《陳情表》。

試題詳情

12.(2010·南通模擬)已知函數f(x)=x3+ax2+bx+cx=-與x=1時都取得極值,

(1)求ab的值與函數f(x)的單調區間;

(2)若對x∈[-1,2],不等式f(x)<c2恒成立,求c的取值范圍.

解:(1)f(x)=x3+ax2+bx+cf′(x)=3x2+2ax+b

f′(-)=-a+b=0,f′(1)=3+2a+b=0得a=-,b=-2,

f′(x)=3x2x-2=(3x+2)(x-1),函數f(x)的單調區間如下表:

x
(-∞,-)

(-,1)
1
(1,+∞)
f′(x)
+
0

0
+
f(x)
?
極大值
?
極小值
?

所以函數f(x)的遞增區間是(-∞,-)與(1,+∞),遞減區間(-,1);

(2)f(x)=x3x2-2x+cx∈[-1,2],當x=-時,f(-)=+c為極大值,而f(2)=2+c,則f(2)=2+c為最大值,要使f(x)<c2x∈[-1,2]恒成立,則只需要c2f(2)=2+c,得c<-1,或c>2.

試題詳情

11.設f′(x)是函數f(x)的導函數,將yf(x)和yf′(x)的圖象畫在同一個直角坐標系中,不可能正確的是                         ( )

解析:對于圖A來說,拋物線為函數f(x),直線為f′(x);對于圖B來說,上凸的曲線為函數f(x),下凹的曲線為f′(x);對于圖C來說,下面的曲線為函數f(x),上面的曲線f′(x).只有圖D不符合題設條件.

答案:D

試題詳情

10.某公司生產某種產品,固定成本為20 000元,每生產一單位產品,成本增加100

元,已知總營業收入R與年產量x的關系是RR(x)=

,則總利潤最大時,每年生產的產品是    ( )

A.100    B.150    C.200     D.300

解析:由題意得,總成本函數為CC(x)=20 000+100x

所以總利潤函數為

PP(x)=R(x)-C(x)

P′(x)=

P′(x)=0,得x=300,易知x=300時,P最大.

答案:D

試題詳情

9.已知對任意實數x,都有f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),且x>0時, f′(x)>0,g′(x)>0,則x<0時                               ( )

A.f′(x)>0,g′(x)>0        B.f′(x)>0,g′(x)<0

C.f′(x)<0,g′(x)>0        D.f′(x)<0,g′(x)<0

解析:由題意知f(x)是奇函數,g(x)是偶函數.當x>0時,f(x),g(x)都單調遞增,則當x<0時,f(x)單調遞增,g(x)單調遞減,即f′(x)>0,g′(x)<0.

答案:B

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8.(文)已知函數f(x)=x3+ax2+bx+c,曲線yf(x)在點x=1處的切線l不過第四象限且斜率為3,又坐標原點到切線l的距離為,若x=時,yf(x)有極值,

(1)求abc的值;

(2)求yf(x)在[-3,1]上的最大值和最小值.

解:(1)由f(x)=x3+ax2+bx+c,得

f′(x)=3x2+2ax+b.

x=1時,切線l的斜率為3,可得2a+b=0.                 ①

x=時,yf(x)有極值,則f′()=0,可得

4a+3b+4=0.                              ②

由①②解得a=2,b=-4.

設切線l的方程為y=3x+m.

由原點到切線l的距離為,則=,

解得m=±1.

∵切線l不過第四象限,∴m=1.

由于切點的橫坐標為x=1,∴f(1)=4.

∴1+a+b+c=4,∴c=5;

(2)由(1)可得f(x)=x3+2x2-4x+5,

f′(x)=3x2+4x-4.

 令f′(x)=0,得x=-2,x=.

f(x)和f′(x)的變化情況如下表:

x
[-3,-2)
-2
(-2,)

(,1]
f′(x)
+
0

0
+
f(x)
?
極大值
?
極小值
?

f(x)在x=-2處取得極大值f(-2)=13,

x=處取得極小值f()=.

f(-3)=8,f(1)=4,

f(x)在[-3,1]上的最大值為13,最小值為.

(理)已知函數f(x)=x3+2bx2+cx-2的圖象在與x軸交點處的切線方程是y=5x-10.

(1)求函數f(x)的解析式;

(2)設函數g(x)=f(x)+mx,若g(x)的極值存在,求實數m的取值范圍以及函數g(x)取得極值時對應的自變量x的值.

解:(1)由已知,切點為(2,0),故有f(2)=0,

即4b+c+3=0.                             ①

f′(x)=3x2+4bx+c,由已知,f′(2)=12+8b+c=5.

得8b+c+7=0.                             ②

聯立①、②,解得c=1,b=-1,

于是函數解析式為f(x)=x3-2x2+x-2.

(2)g(x)=x3-2x2+x-2+mx

g′(x)=3x2-4x+1+,令g′(x)=0.

當函數有極值時,Δ≥0,方程3x2-4x+1+=0有實根,

由Δ=4(1-m)≥0,得m≤1.

①當m=1時,g′(x)=0有實根x=,在x=左右兩側均有g′(x)>0,故函數g(x)無極值.

②當m<1時,g′(x)=0有兩個實根,

x1=(2-),x2=(2+),

x變化時,g′(x)、g(x)的變化情況如下表:

x
(-∞,x1)
x1
(x1x2)
x2
(x2,+∞)
g′(x)
+
0

0
+
g(x)
?
極大值
?
極小值
?

故在m∈(-∞,1)時,函數g(x)有極值;

x=(2-)時g(x)有極大值;

x=(2+)時g(x)有極小值.

題組三
導數的綜合應用

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7.函數y=sin2xxx∈[-,]的最大值是________,最小值是________.

解析:∵y′=2cos2x-1=0,∴x=±.

f(-)=-+,f()=-,

端點f(-)=,f()=-,

所以y的最大值是,最小值是-.

答案: -

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6.若函數f(x)=x3-3x+a有3個不同的零點,則實數a的取值范圍是   ( )

A.(-2,2)     B.[-2,2]    C.(-∞,-1)     D.(1,+∞)

解析:由f′(x)=3x2-3=3(x-1)(x+1),

且當x<-1時,f′(x)>0;

當-1<x<1時,f′(x)<0;當x>1時,f′(x)>0.

所以當x=-1時函數f(x)有極大值,當x=1時函數f(x)有極小值.

要使函數f(x)有3個不同的零點,只需滿足

解之得-2<a<2.

答案:A

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5.(文)函數f(x)=x3+ax2+3x-9,已知f(x)在x=-3時取得極值,則a=    ( )

A.2     B.3    C.4     D.5

解析:因為f(x)=x3+ax2+3x-9,所以f′(x)=3x2+2ax+3,由題意有f′(-3)=0,所以3×(-3)2+2a×(-3)+3=0,由此解得a=5.

答案:D

(理)設a∈R,若函數y=ex+axx∈R有大于零的極值點,則        ( )

A.a<-1    B.a>-1    C.a>-   D.a<-

解析:由y′=(ex+ax)′=ex+a=0得ex=-a

x=ln(-a)>0⇒-a>1⇒a<-1.

答案:A

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4.設函數f(x)=x3+ax2-9x-1(a<0).若曲線yf(x)的斜率最小的切線與直線12x+y=6平行,求:

(1)a的值;

(2)函數f(x)的單調區間.

解:(1)因f(x)=x3+ax2-9x-1,

所以f′(x)=3x2+2ax-9

=32-9-.

即當x=-時,f′(x)取得最小值-9-.

因斜率最小的切線與12x+y=6平行,即該切線的斜率為-12,所以-9-=-12,即a2=9.

解得a=±3,由題設a<0,所以a=-3.

(2)由(1)知a=-3,因此f(x)=x3-3x2-9x-1,

f′(x)=3x2-6x-9=3(x-3)(x+1),

f′(x)=0,解得x1=-1,x2=3.

x∈(-∞,-1)時,f′(x)>0,

f(x)在(-∞,-1)上為增函數;

x∈(-1,3)時,f′(x)<0,

f(x)在(-1,3)上為減函數;

x∈(3,+∞)時,f′(x)>0,故f(x)在(3,+∞)上為增函數.

由此可見,函數f(x)的單調遞增區間為(-∞,-1)和(3,+∞),單調遞減區間為(-1,3).

題組二
導數與函數的極值和最值

試題詳情


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