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8.(文)已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c.曲線y=f(x)在點(diǎn)x=1處的切線l不過(guò)第四象限且斜率為3.又坐標(biāo)原點(diǎn)到切線l的距離為.若x=時(shí).y=f(x)有極值. (1)求a.b.c的值, (2)求y=f(x)在[-3,1]上的最大值和最小值. 解:(1)由f(x)=x3+ax2+bx+c.得 f′(x)=3x2+2ax+b. 當(dāng)x=1時(shí).切線l的斜率為3.可得2a+b=0. ① 當(dāng)x=時(shí).y=f(x)有極值.則f′()=0.可得 4a+3b+4=0. ② 由①②解得a=2.b=-4. 設(shè)切線l的方程為y=3x+m. 由原點(diǎn)到切線l的距離為.則=. 解得m=±1. ∵切線l不過(guò)第四象限.∴m=1. 由于切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x=1.∴f(1)=4. ∴1+a+b+c=4.∴c=5, 可得f(x)=x3+2x2-4x+5. ∴f′(x)=3x2+4x-4. 令f′(x)=0.得x=-2.x=. f(x)和f′(x)的變化情況如下表: x [-3.-2) -2 (-2.) (.1] f′(x) + 0 - 0 + f(x) ? 極大值 ? 極小值 ? ∴f(x)在x=-2處取得極大值f(-2)=13. 在x=處取得極小值f()=. 又f(-3)=8.f(1)=4. ∴f(x)在[-3,1]上的最大值為13.最小值為. (理)已知函數(shù)f(x)=x3+2bx2+cx-2的圖象在與x軸交點(diǎn)處的切線方程是y=5x-10. (1)求函數(shù)f(x)的解析式, (2)設(shè)函數(shù)g(x)=f(x)+mx.若g(x)的極值存在.求實(shí)數(shù)m的取值范圍以及函數(shù)g(x)取得極值時(shí)對(duì)應(yīng)的自變量x的值. 解:.故有f(2)=0. 即4b+c+3=0. ① f′(x)=3x2+4bx+c.由已知.f′(2)=12+8b+c=5. 得8b+c+7=0. ② 聯(lián)立①.②.解得c=1.b=-1. 于是函數(shù)解析式為f(x)=x3-2x2+x-2. (2)g(x)=x3-2x2+x-2+mx. g′(x)=3x2-4x+1+.令g′(x)=0. 當(dāng)函數(shù)有極值時(shí).Δ≥0.方程3x2-4x+1+=0有實(shí)根. 由Δ=4(1-m)≥0.得m≤1. ①當(dāng)m=1時(shí).g′(x)=0有實(shí)根x=.在x=左右兩側(cè)均有g(shù)′(x)>0.故函數(shù)g(x)無(wú)極值. ②當(dāng)m<1時(shí).g′(x)=0有兩個(gè)實(shí)根. x1=(2-).x2=(2+). 當(dāng)x變化時(shí).g′(x).g(x)的變化情況如下表: x (-∞.x1) x1 (x1.x2) x2 (x2.+∞) g′(x) + 0 - 0 + g(x) ? 極大值 ? 極小值 ? 故在m∈時(shí).函數(shù)g(x)有極值, 當(dāng)x=(2-)時(shí)g(x)有極大值, 當(dāng)x=(2+)時(shí)g(x)有極小值. 題組三 導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用 查看更多

 

題目列表(包括答案和解析)

解答題:解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟.

已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c,曲線y=f(x)在點(diǎn)x=1處的切線l不過(guò)第四象限且斜率為3,又坐標(biāo)原點(diǎn)到切線l的距離為,若時(shí),y=f(x)有極值.

(1)

求a、b、c的值

(2)

求y=f(x)在[-3,1]上的最大值和最小值.

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