求法:①“一找二證三求”,三步都必須要清楚地寫出來。②向量法,先求直線的方向量于平面的法向量所成的角α,那么所要求的角為或
。
(3)平面與平面所成的角
求法:①“一找二證三求”,找出這個二面角的平面角,然后再來證明我們找出來的這個角是我們要求的二面角的平面角,最后就通過解三角形來求。②向量法,先求兩個平面的法向量所成的角為α,那么這兩個平面所成的二面角的平面角為α或π-α。
(二)2009年高考預(yù)測
從近幾年各地高考試題分析,立體幾何題型一般是一個解答題,1至3個填空或選擇題.解答題一般與棱柱和棱錐相關(guān),主要考查線線關(guān)系、線面關(guān)系和面面關(guān)系,其重點(diǎn)是考查空間想象能力和推理運(yùn)算能力,其解題方法一般都有二種以上,并且一般都能用空間向量來求解. 高考試題中,立體幾何側(cè)重考查學(xué)生的空間概念、邏輯思維能力、空間想象能力及運(yùn)算能力 . 近幾年凡涉及空間向量應(yīng)用于立體幾何的高考試題,都著重考查應(yīng)用空間向量求異面直線所成的角、二面角,證明線線平行、線面平行和證明異面直線垂直和線面垂直等基本問題。
高考對立體幾何的考查側(cè)重以下幾個方面:
求法:①先通過其中一條直線或者兩條直線的平移,找出這兩條異面直線所成的角,然后通過解三角形去求得;②通過兩條異面直線的方向量所成的角來求得,但是注意到異面直線所成角得范圍是,向量所成的角范圍是
,如果求出的是鈍角,要注意轉(zhuǎn)化成相應(yīng)的銳角。
(2)直線和平面所成的角
3.求角
(1)兩條異面直線所成的角
2.求距離:
求距離的重點(diǎn)在點(diǎn)到平面的距離,直線到平面的距離和兩個平面的距離可以轉(zhuǎn)化成點(diǎn)到平面的距離,一個點(diǎn)到平面的距離也可以轉(zhuǎn)化成另外一個點(diǎn)到這個平面的距離。
(1)兩條異面直線的距離
求法:利用公式法。
(2)點(diǎn)到平面的距離
求法:①“一找二證三求”,三步都必須要清楚地寫出來。②等體積法。③向量法。
1.位置關(guān)系:
(1)兩條異面直線相互垂直
證明方法:①證明兩條異面直線所成角為90º;②證明線面垂直,得到線線垂直;③證明兩條異面直線的方向量相互垂直。
(2)直線和平面相互平行
證明方法:①證明直線和這個平面內(nèi)的一條直線相互平行;②證明這條直線的方向量和這個平面內(nèi)的一個向量相互平行;③證明這條直線的方向量和這個平面的法向量相互垂直。
(3)直線和平面垂直
證明方法:①證明直線和平面內(nèi)兩條相交直線都垂直,②證明直線的方向量與這個平面內(nèi)不共線的兩個向量都垂直;③證明直線的方向量與這個平面的法向量相互平行。
(4)平面和平面相互垂直
證明方法:①證明這兩個平面所成二面角的平面角為90º;②證明一個平面內(nèi)的一條直線垂直于另外一個平面;③證明兩個平面的法向量相互垂直。
(一)方法總結(jié)
例15、 如圖,已知正三棱柱,
是
的中點(diǎn),求證:
平面
.
二面角
的大小.
異面直線與
的距離;
例14、如圖2,在四棱錐,底面
為矩形,
底面
,
是
上一點(diǎn),
.已知
.求:
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