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5．若x，y是正數，則的最小值是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　　 )

　　　 A．3　　　　　　　　　　　　 B．　　　　　　　　　　　 C．4　　　　　　　　　　　　 D．

解：≥2(x+)(y+)≥8=4當且僅當,得x=y=時等號成立,選(C)

4．已知A(3，1)，B(6，1)，C(4，3)，D為線段BC的中點，則向量與的夾角為　　　　　　　　　　　　 (　　 )

　　　 A．　　 B．　　　　　 C．　　　 D．－

解：∵D(5,2),,

∴cos(180°-∠DAC)=,∴∴∠DAC=,即向量與的夾角為,選(C)

3．若函數是定義在R上的偶函數，在上是減函數，且，則使得的x的取值范圍是　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　　 )

　　　 A．　　　　　　　 B．　　　　　　　 C．D．(－2，2)

解：∵函數是定義在R上的偶函數，在上是減函數，且,∴f(-2)=0, 在上的x的取值范圍是,又由對稱性,∴在R上fx)<0仰x的取值范圍為(-2,2),選(D)

2．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　　 )

　　　 A．　　　　　　　　　　　 B．－　　　　　　　　　　 C．　　　　　　　　　 D．－

解：∵=-i,∴(-i)²⁰⁰⁵=,選(A)

1．圓關于原點(0，0)對稱的圓的方程為　　　　　　　　　　　　　　　　 (　　 )

　　　 A．　　　　　　　　　　　　　　　　 B．

　　　 C．　　　　　　　　　　 D．

解：∵圓的圓心(-2,0)關于原點對稱的點為(2,0),∴圓關于原點對稱的圓為(x-2)²+y²=5,選(A).

20．已知函數和的圖象關于原點對稱，且．

　 (Ⅰ)求函數的解析式；

　 (Ⅱ)解不等式；

　 (Ⅲ)若在上是增函數，求實數的取值范圍．

解：解：(Ⅰ)設函數y=f(x)的圖象上任一點Q(x_qλ,y_q關于原點的對稱點(x,y),

則即∵點Qx_q,y_q)在函數f(x)的圖象上,

∴-y=-x²+2x.,故g(x)=-x²+2x

(Ⅱ)由g(x)≥f(x)－|x－1|可得2x²-|x-1|≤0,當x≥1時,2x²-x+1≤0,此時不等式無解,

當x<1時,2x²+x-1≤0,∴-1≤x≤,因此,原不等式的解集為[-1,]

(Ⅲ)h(x)=-(1+λ)x²+2(1-λ)x+1

①　　 當λ=-1時,h(x)=4x+1在[-1,1]上是增函數,∴λ=-1

②　　 當λ≠-1時,對稱軸的方程為x=.

(i)　　　　　　　　 當λ<-1時, ≤-1,解得λ<-1.

(ii)　　　　　　　 當λ>-1時, ≥-1,解得-1<λ≤0.

綜上,λ≤0

19．如圖，已知橢圓的中心在坐標原點，焦點F₁，F₂在x軸上，長軸A₁A₂的長為4，左準線l與x軸的交點為M，|MA₁|∶|A₁F₁|＝2∶1．

　 (Ⅰ)求橢圓的方程；

　 (Ⅱ)若點P為l上的動點，求∠F₁PF₂最大值．

解：(Ⅰ)設橢圓的方程為(a>0,b>0),半焦距為c,則|MA₁|=,|A₁F₁|=a-c 由題意,得∴a=2,b=,c=1.

故橢圓的方程為

(Ⅱ)設P(-4,y₀),y₀≠0,

∴只需求tan∠F₁PF₂的最大值即可.

設直線PF₁的斜率k₁=,直線PF₂的斜率k₂=,

∵0<∠F₁PF₂<∠PF₁M<,∴∠F₁PF₂為銳角.

∴tan∠F₁PF₂=

當且僅當,即|y₀|=時,tan∠F₁PF₂取到最大值此時∠F₁PF₂最大,∴

∠F₁PF₂的最大值為arctan.

18．如圖，在三棱錐P－ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝PA，點O、D分別是AC、PC的中點，OP⊥底面ABC．

　 (Ⅰ)求證：OD∥平面PAB；

　 (Ⅱ) 求直線OD與平面PBC所成角的大小．

解：解法一

(Ⅰ)∵O、D分別為AC、PC的中點：∴OD∥PA,又AC平面PAB,∴OD∥平面PAB.

(Ⅱ)∵AB⊥BC,OA=OC,∴OA=OC=OB,又∵OP⊥平面ABC,∴PA=PB=PC.

取BC中點E,連結PE,則BC⊥平面POE,作OF⊥PE于F,連結DF,則OF⊥平面PBC

∴∠ODF是OD與平面PBC所成的角.

又OD∥PA,∴PA與平面PBC所成角的大小等于∠ODF.

在Rt△ODF中,sin∠ODF=,∴PA與平面PBC所成角為arcsin

解法二：

∵OP⊥平面ABC,OA=OC,AB=BC,∴OA⊥OB,OA⊥OP,OB⊥OP.

以O為原點,射線OP為非負x軸,建立空間坐標系O-xyz如圖),設AB=a,則A(a,0,0).

B(0, a,0),C(-a,0,0).設OP=h,則P(0,0,h).

(Ⅰ)∵D為PC的中點,∴又∥,

∴OD∥平面PAB.

(Ⅱ)∵k=則PA=2a,∴h=∴可求得平面PBC的法向量

∴cos.

設PA與平面PBC所成角為θ,剛sinθ=|cos()|=.

∴PA與平面PBC所成的角為arcsin.

17．袋子A和B中裝有若干個均勻的紅球和白球，從A中摸出一個紅球的概率是，從B中摸出一個紅球的概率為p．

　 (Ⅰ) 從A中有放回地摸球，每次摸出一個，共摸5次．(i)恰好有3次摸到紅球的概率；(ii)第一次、第三次、第五次摸到紅球的概率．

　 (Ⅱ) 若A、B兩個袋子中的球數之比為12，將A、B中的球裝在一起后，從中摸出一個紅球的概率是，求p的值．　

解：(Ⅰ)(i)

(ii)

(iii)設袋子A中有m個球,則袋子B中有2m個球,

由,得p=.

16．已知實數成等差數列，成等比數列，且，求．

解：

由(1)(2)兩式,解得b=5,將c=10-a代入(3),整理得a²-13a+22=0,解得a=2或a=11.

故a=2,b=5,c=11或a=11,b=5,c=-1.經驗算,上述兩組數符合題意.