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∠ACB=90⁰，AC=1，C點到AB₁的距離為CE=，D為AB的中點.

（1）求證：AB­₁⊥平面CED；

（2）求異面直線AB₁與CD之間的距離；

【解】（1）∵D是AB中點，△ABC為等腰直角三角形，∠ABC=90⁰，∴CD⊥AB又AA₁⊥平面ABC，∴CD⊥AA₁.

∴CD⊥平面A₁B₁BA  ∴CD⊥AB₁，又CE⊥AB₁， ∴AB₁⊥平面CDE；

（2）由CD⊥平面A₁B₁BA  ∴CD⊥DE

∵AB₁⊥平面CDE  ∴DE⊥AB₁

∴DE是異面直線AB₁與CD的公垂線段

∵CE=，AC=1 , ∴CD=

∴；

6．【江蘇?啟東中學】16．（本題滿分14分，第1問4分，第2問5分，第3問5分）

如下的三個圖中，分別是一個長方體截去一個角所得多面體的直觀圖以及它的主視圖和左視圖（單位：cm）

（1）按照畫三視圖的要求畫出該多面體的俯視圖；

（2）按照給出的尺寸，求該多面體的體積；

（3）在所給直觀圖中連結，證明：面．

【解】（1）如圖

------------4分

（2）所求多面體體積．--------9分

（3）證明：在長方體中，

連結，則．

因為分別為，中點，所以--11分

從而．又平面，所以面． --------------14分

7．【江蘇?蘇北四市】16. (本題滿分14分)

如圖，已知空間四邊形中，，是的中點．

求證：（1）平面CDE；

（2）平面平面． 

（3）若G為的重心,試在線段AE上確定一點F,使得GF平面CDE．

【解】證明：（1）同理，

又∵       ∴平面．　　…………………5分

（2）由（1）有平面

又∵平面，    ∴平面平面．………………9分

（3）連接AG并延長交CD于H，連接EH，則，

在AE上取點F使得，則，易知GF平面CDE．…………………14分

8．【江蘇?蘇北四市】4. 已知斜三棱柱，，，在底面上的射影恰為的中點，又知。

（I）求證：平面；

（II）求到平面的距離；

（III）求二面角余弦值的大小。

【解】（I）如圖，取的中點，則，因為，

       所以，又平面，

       以為軸建立空間坐標系，

       則，，，

，，

，，

，由，知，

       又，從而平面；

       （II）由，得。

       設平面的法向量為，，，所以

，設，則

       所以點到平面的距離。

       （III）再設平面的法向量為，，，

       所以

，設，則，

       故，根據法向量的方向，

       可知二面角的余弦值大小為

9．17．【江蘇?蘇州】（本小題滿分15分）

在四棱錐P－ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點，PA＝2AB＝2．

（Ⅰ）求四棱錐P－ABCD的體積V；

（Ⅱ）若F為PC的中點，求證PC⊥平面AEF；

（Ⅲ）求證CE∥平面PAB．

【解】（Ⅰ）在Rt△ABC中，AB＝1，

∠BAC＝60°，∴BC＝，AC＝2．

在Rt△ACD中，AC＝2，∠CAD＝60°，

∴CD＝2，AD＝4．

∴S_ABCD＝

．……………… 3分

則V＝．     ……………… 5分

（Ⅱ）∵PA＝CA，F為PC的中點，

∴AF⊥PC．            ……………… 7分

∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD．

∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，

∴CD⊥平面PAC．∴CD⊥PC．

∵E為PD中點，F為PC中點，

∴EF∥CD．則EF⊥PC．       ……… 9分

∵AF∩EF＝F，∴PC⊥平面AEF．…… 10分

（Ⅲ）證法一：

取AD中點M，連EM，CM．則EM∥PA．

∵EM 平面PAB，PA平面PAB，

∴EM∥平面PAB．   ……… 12分

在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，AC＝AM＝2，

∴∠ACM＝60°．而∠BAC＝60°，∴MC∥AB．

∵MC 平面PAB，AB平面PAB，

∴MC∥平面PAB．  ……… 14分

∵EM∩MC＝M，

∴平面EMC∥平面PAB．

∵EC平面EMC，

∴EC∥平面PAB．   ……… 15分

證法二：

延長DC、AB，設它們交于點N，連PN．

∵∠NAC＝∠DAC＝60°，AC⊥CD，

∴C為ND的中點．         ……12分

∵E為PD中點，∴EC∥PN．……14分

∵EC 平面PAB，PN 平面PAB，

∴EC∥平面PAB．   ……… 15分

10．【江蘇?泰州實驗】16. (本題滿分14分)四棱錐中，底面為矩形，

側面底面，．

（Ⅰ）取的中點為，的中點為，證明：面；

（Ⅱ）證明：．

【解】 (1)取的中點為連可以證明

面面，   面…………………6分

（2）取中點，連接交于點，

，

，

又面面，

面，

．………………….10分

，

，

，即，

面，

．………………….14分

11．【江蘇?泰州實驗】3.（本小題滿分10分）右圖是一個直三棱柱（以為底面）被一平面所截得到的幾何體，截面為．已知,，．

（1）設點是的中點，證明：平面；

（2）求二面角的大小；

【解】解法一：

（1）證明：作交于，連．

則．

因為是的中點，

所以．

則是平行四邊形，因此有．

平面且平面，

則面．……………….5分

（2）如圖，過作截面面，分別交于．

作于，連．

因為面，所以，則平面．

又因為．

所以，根據三垂線定理知，所以就是所求二面角的平面角．

因為，所以，故，

即：所求二面角的大小為．……………….10分

解法二：

（1）如圖，以為原點建立空間直角坐標系，

則因為是的中點，所以，

．

易知，是平面的一個法向量．

因為平面，

所以平面．……………….5分

（2），

設是平面的一個法向量，則

則得：

取．

顯然，為平面的一個法向量．

則，結合圖形可知所求二面角為銳角．

所以二面角的大小是．……………….10分

12．【江蘇?泰州】16、如圖所示，在棱長為2的正方體中，、分別為、的

中點．

（1）求證：//平面；

（2）求證：；

（3）求三棱錐的體積．

【解】證明：（1）連結，在中，、分別為，的中點，則

（2）

（3）

     且 

，

∴   即    

=

= 

13．【江蘇?鹽城】16. (本小題滿分14分)

如圖,在四棱錐中,側面底面,側棱,底面是直角梯形,其中,,,是上一點.

(Ⅰ)若,試指出點的位置；

 (Ⅱ)求證:.

【解】 (Ⅰ)解:因為,,且,

所以………………………………………………………(4分)

   又,所以四邊形為平行四邊形,則……………………………………(6分)

   而,故點的位置滿足…………………………………………………(7分)

(Ⅱ)證: 因為側面底面,,且,

所以,則………………………………………(10分)

   又,且,所以 ………(13分)

   而,所以………………………(14分)

14．【江蘇?鹽城】22．（本小題滿分10分）

如圖，ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，∠BAD=60°.

（Ⅰ）求點A到平面PBD的距離；

（Ⅱ）求二面角A―PB―D的余弦值.

【解】 解:以OA、OB所在直線分別x軸，y軸,以過O且垂直平面ABCD的直線為z軸，建立空間直角坐標系，則，…(2分)

（Ⅰ）設平面PDB的法向量為,

    由,

     所以=………………………………(5分)

  （Ⅱ）設平面ABP的法向量，，

     ,，

     ,而所求的二面角與互補,

所以二面角A―PB―D的余弦值為………………………………………(10分)

15．【江蘇?常州】16.（14分）如圖，在組合體中，是一個長方體，是一個四棱錐，

，點平面且

（1）      證明：平面；    

（2）      證明：平面。

【解】（略）