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1.（2002天津理，15）直線x=0，y=0，x=2與曲線y=（）^x所圍成的圖形繞x軸旋轉一周而成的旋轉體的體積等于_____.

2.（1998上海，3）若，則a=      .

3.（1996上海理，16）=      .

4.（2002天津文，21）已知a＞0，函數f（x）=x³－a，x∈［0，+∞）.設x₁＞0，記曲線y=f（x）在點M（x₁，f（x₁））處的切線為l.

（Ⅰ）求l的方程；

（Ⅱ）設l與x軸交點為（x₂，0）.證明：

（i）x₂≥a；

（ii）若x₁＞a，則a＜x₂＜x₁.

5.（2002天津理，20）已知a＞0，函數f（x）=，x∈（0，+∞）.設0＜x₁＜，記曲線y=f（x）在點M（x₁，f（x₁））處的切線為l.

（Ⅰ）求l的方程；

（Ⅱ）設l與x軸交點為（x₂，0），證明：

（i）0＜x₂≤；

（ii）若x₁＜，則x₁＜x₂＜.

6.（2001天津理，21）某電廠冷卻塔外形是如圖11―1所示雙曲線的一部分繞其中軸(即雙曲線的虛軸)旋轉所成的曲面,其中A、A′是雙曲線的頂點，C、C′是冷卻塔上口直徑的兩個端點，B、B′是下底直徑的兩個端點，已知AA′=14 m，CC′=18 m，BB′=22 m，塔高20 m.

（1）建立坐標系并寫出該雙曲線方程.

^※（2）求冷卻塔的容積（精確到10 m³，塔壁厚度不計，π取3.14）

7.（1995上海文，22）設y=f（x）是二次函數,方程f（x）=0有兩個相等的實根，且

f′（x）=2x+2.

（1）求y=f（x）的表達式；

^※（2）求y=f（x）的圖象與兩坐標軸所圍成圖形的面積.

8.（1995上海理，22）設y=f（x）是二次函數，方程f（x）=0有兩個相等的實根，且

f′（x）=2x+2.

（1）求y=f（x）的表達式；

^※（2）若直線x=－t（0＜t＜1）把y=f（x）的圖象與兩坐標軸所圍成圖形的面積二等分，求t的值.

說明：凡標有^※的試題與2002年教學大綱及2003年高考考試說明要求不符，僅供讀者自己選用.

●答案解析

1.答案：

解析：由旋轉體的體積公式V=π

.

2.答案：4

解析：依題意有：=2，∴a=4

3.答案：－

解析：原式=.

4.（Ⅰ）解：求f（x）的導數：f′（x）=3x²，由此得切線l的方程：

y－（x₁³－a）=3x₁²（x－x₁）.

（Ⅱ）證明：依題意，切線方程中令y=0，

x₂=x₁－，

（i）≥0，

∴x₂≥a，

當且僅當x₁=a時等號成立.

（ii）若x₁＞a，則x₁³－a＞0，x₂－x₁=－＜0，且由（i）x₂＞a，

所以a＜x₂＜x₁.

5.（Ⅰ）解：求f（x）的導數：f′（x）=－，由此得切線l的方程：

y－（）=－（x－x₁）.

（Ⅱ）證明：依題意，切線方程中令y=0，

x₂=x₁（1－ax₁）+x₁=x₁（2－ax₁），其中0＜x₁＜.

（i）由0＜x₁＜，x₂=x₁（2－ax₁），有x₂＞0，及x₂=－a（x₁－）²+.

∴0＜x₂≤，當且僅當x₁=時，x₂=.

（ii）當x₁＜時，ax₁＜1，因此，x₂=x₁（2－ax₁）＞x₁，且由（i），x₂＜，

所以x₁＜x₂＜.

6.（1）如圖11―2建立直角坐標系，xOy，使AA′在x軸上，

AA′的中點為坐標原點O，CC′與BB′平行于x軸.

設雙曲線方程為=1（a＞0，b＞0），則a=AA′=7.

又設B（11，y₁），C（9，y₂），因為點B、C在雙曲線上，所以有

            ①

      ②

由題意，知y₂－y₁=20. ③

由①、②、③，得

y₁=－12，y₂=8.b=7.

故雙曲線方程為=1；

（2）由雙曲線方程，得x²=y²+49.

設冷卻塔的容積為V（m³），則

.

經計算，得V=4.25×10³（m³）.

答：冷卻塔的容積為4.25×10³ m³.

評述：本題考查選擇適當的坐標系建立曲線方程和解方程組的基礎知識，考查應用所學積分知識、思想和方法解決實際問題的能力.

7.解：（1）設f（x）=ax²+bx+c，則f′（x）=2ax+b，又已知f′（x）=2x+2

∴a=1，b=2.

∴f（x）=x²+2x+c

又方程f（x）=0有兩個相等實根，

∴判別式Δ=4－4c=0，即c=1.

故f（x）=x²+2x+1.

（2）依題意，有所求面積=.

評述：本題考查導數和積分的基本概念.

8.解：（1）與7（1）相同.（2）依題意，有，

∴，

－t³+t²－t+=t³－t²+t，2t³－6t²+6t－1=0，

∴2（t－1）³=－1，于是t=1－.

●命題趨向與應試策略

1.本章內容在高考中以填空題和解答題為主.主要考查：

（1）函數的極限；

（2）導數在研究函數的性質及在解決實際問題中的應用；

（3）計算曲邊圖形的面積和旋轉體的體積.

2.考生應立足基礎知識和基本方法的復習，以課本題目為主，以熟練技能，鞏固概念為目標.