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在本次數學期中考試試卷中共有10道選擇題，每道選擇題有4個選項，其中只有一個是正確的。評分標準規定：“每題只選一項，答對得5分，不答或答錯得0分”.某考生每道題都給出一個答案, 且已確定有7道題的答案是正確的，而其余題中，有1道題可判斷出兩個選項是錯誤的，有一道可以判斷出一個選項是錯誤的，還有一道因不了解題意只能亂猜。試求出該考生：

（1）選擇題得滿分(50分)的概率；

（2）選擇題所得分數的數學期望。

【解析】第一問總利用獨立事件的概率乘法公式得分為50分，10道題必須全做對．在其余的3道題中，有1道題答對的概率為，有1道題答對的概率為，還有1道答對的概率為，

所以得分為50分的概率為：

第二問中，依題意，該考生得分的范圍為｛35，40，45，50｝         

得分為35分表示只做對了7道題，其余各題都做錯，

所以概率為                            

得分為40分的概率為： 

同理求得，得分為45分的概率為： 

得分為50分的概率為：

得到分布列和期望值。

解：（1）得分為50分，10道題必須全做對．在其余的3道題中，有1道題答對的概率為，有1道題答對的概率為，還有1道答對的概率為，

所以得分為50分的概率為：                   …………5分

（2）依題意，該考生得分的范圍為｛35，40，45，50｝            …………6分

得分為35分表示只做對了7道題，其余各題都做錯，

所以概率為                              …………7分

得分為40分的概率為：     …………8分

同理求得，得分為45分的概率為：                     …………9分

得分為50分的概率為：                      …………10分

所以得分的分布列為

數學期望

一自來水廠用蓄水池通過管道向所管轄區域供水．某日凌晨，已知蓄水池有水9千噸，水廠計劃在當日每小時向蓄水池注入水2千噸，且每小時通過管道向所管轄區域供水千噸．

（1）多少小時后，蓄水池存水量最少？

（2）當蓄水池存水量少于3千噸時，供水就會出現緊張現象，那么當日出現這種情況的時間有多長？

【解析】第一問中（1）設小時后，蓄水池有水千噸．依題意，當，即（小時）時，蓄水池的水量最少，只有1千噸

第二問依題意，   解得：

解：（1）設小時后，蓄水池有水千噸．………………………………………1分

依題意，…………………………………………4分

當，即（小時）時，蓄水池的水量最少，只有1千噸． ………2分

（2）依題意，   ………………………………………………3分

解得：．  …………………………………………………………………3分

所以，當天有8小時會出現供水緊張的情況

已知動點到點的距離，等于它到直線的距離．

(1)求點的軌跡的方程；

（2）過點任意作互相垂直的兩條直線，分別交曲線于點和．

設線段，的中點分別為，求證：直線恒過一個定點；

（3）在（2）的條件下，求面積的最小值

某村計劃建造一個室內面積為的矩形蔬菜溫室。在溫室內，沿左、右兩側與后側內墻各保留寬的通道，沿前側內墻保留寬的空地，當矩形溫室的邊長各為多少時，蔬菜的種植面積最大？最大種植面積是多少？

【解析】本試題考查了實際生活中的最值問題的運用，首先確定設矩形溫室的長為xm，則寬為800/xm。

依題意有：種植面積：

運用導數的思想得到最值。

設矩形溫室的長為xm，則寬為800/xm。

依題意有：種植面積：

答：當矩形溫室的長為20m，寬為40m時種植面積最大，最大種植面積是m²