Question

已知動點到點的距離，等于它到直線的距離．

(1)求點的軌跡的方程；

（2）過點任意作互相垂直的兩條直線，分別交曲線于點和．

設線段，的中點分別為，求證：直線恒過一個定點；

（3）在（2）的條件下，求面積的最小值

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）設動點的坐標為，由題意得，，

化簡得，所以點的軌跡的方程為．      

（Ⅱ）設兩點坐標分別為，，則點的坐標為．由題意可設直線的方程為 ，

由得.

.

因為直線與曲線于兩點，所以，．所以點的坐標為.

由題知，直線的斜率為，同理可得點的坐標為.

當時，有，此時直線的斜率.

所以，直線的方程為，

整理得.于是，直線恒過定點；

當時，直線的方程為，也過點．

綜上所述，直線恒過定點．        

（Ⅲ），面積.

當且僅當時，“”成立，所以面積的最小值為．

【解析】略