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4.實數與向量的積

(1)實數λ與向量的積：①是個向量;②模等于③方向λ>0時與同向,λ<0時與反向.

(2)數乘向量滿足交換律、結合律與分配律。

3.向量的減法

(1)相反向量：

關于相反向量有：　 ①=；　 ②+()=()+=；

③若、是互為相反向量，則=,=,+=。

(2)向量減法：向量加上的相反向量叫做與的差，記作：。求兩個向量差的運算，叫做向量的減法。

如上圖表示為從的終點指向的終點的向量(、有共同起點)。

(3)溫馨提示：①用平行四邊形法則時，兩個已知向量是要共始點的，和向量與差向量分別是兩條對角線,注意方向。

②三角形法則的特點是“順次首尾相接”由此可知,封閉折線的向量和為零.

差向量是從減向量的終點指向被減向量的終點。

2.向量加法:　 設，

(1)求兩個向量和的運算叫做向量的加法，向量加法按“平行四邊形法則”或“三角形法則”進行。

　如圖 +==。 或 　+=

　規定：；　

(2) 向量加法滿足交換律與結合律；　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1.向量的有關概念

(1)向量：既有大小又有方向的量.

可用有向線段表示.記作:…或…等；向量的長度即向量的模記作||。

(2)零向量：　　　　　　　　　　　　　 其方向：

(3)單位向量：　　　　　　　　　　　　 單位向量不唯一.

(4)平行向量(共線向量)：方向相同或相反方向相同或相反.

規定：與任意向量平行。

(5)相等向量：長度相等且方向相同.

1理解向量的概念，掌握向量的幾何表示，了解共線向量的概念　　

2掌握向量的加法和減法

3掌握實數與向量的積;理解兩個向量共線的充要條件 　　　

4．函數定義域為，當時，

令，解得，∴，

又，∴

說明：對于閉區間上的連續函數，如果在相應開區間內可導，求上最值可簡化過程，即直接將極值點與端點的函數值比較，即可判定最大(或最小)的函數值，就是最大(或最小)值．解決這類問題，運算欠準確是普遍存在的一個突出問題，反映出運算能力上的差距．運算的準確要依靠運算方法的合理與簡捷，需要有效的檢驗手段，只有全方位的“綜合治理”才能在堅實的基礎上形成運算能力，解決運算不準確的弊病．

求兩變量乘積的最大值

例　 已知為正實數，且滿足關系式，求的最大值．

分析：題中有兩個變量x和y，首先應選擇一個主要變量，將表示為某一變量(x或y或其它變量)的函數關系，實現問題的轉化，同時根據題設條件確定變量的取值范圍，再利用導數(或均值不等式等)求函數的最大值．

解：解法一：，

∴．

由解得．

設

當時，

　　　　　　 　　　　．

令，得或(舍)．

∴，又，∴函數的最大值為．

即的最大值為．

解法二：由得，

設，

∴，設，

則

令，得或．

，此時

∴

即當時，

說明：進行一題多解訓練，是一種打開思路，激發思維，鞏固基礎，溝通聯系的重要途徑，但要明確解決問題的策略、指向和思考方法，需要抓住問題的本質，領悟真諦，巧施轉化，方可快捷地與熟悉的問題接軌，在實現轉化的過程中，關鍵是要注意變量的取值范圍必須滿足題設條件，以免解題陷于困境，功虧一簣．

3．．

令，即，解得

當時，，當時，．

∴函數在點處取得極小值，也是最小值為

即．

2．，令，得，

∴，

又．

∴

4．．

分析：函數在給定區間上連續可導，必有最大值和最小值，因此，在求閉區間上函數的最值時，只需求出函數在開區間內的極值，然后與端點處函數值進行比較即可．

解：1．，令，得，

∴．又

∴

3．