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1.(2006上海) 如圖，在平行四邊形ABCD中，下列

結論中錯誤的是　　　　　　　　　　 (　　 )

(A)；　　　 (B)；

(C)；　 (D)；

5.平面向量的基本定理, 基底。

同步練習 　　5.1平面向量的概念與運算

[選擇題]

4.兩個向量共線定理,會由此定理證共線、求交點或線段長度,比值.

3.實數與向量的積

2.向量加法減法:

1.向量的有關概念: ①向量②零向量③單位向量④平行向量(共線向量)⑤相等向量

2.(2005全國Ⅰ)的外接圓的圓心為O，兩條邊上的高的交點為H，，則實數m =　　　 .是題(3)的結果.

[例4]一條河的兩岸平行，河的寬度為，一艘船從處出發航行到河的正對岸處，船的航行速度為，水流速度為.　 (1)試求的夾角(精確到),及船垂直到達對岸所用的時間(精確到); (2)要使船到達對岸所用時間最少, 的夾角應為多少?

解(1)依題意,要使船到達對岸,就要使的合速度的方向正好垂直于對岸,所以,

的夾角滿足,,故的夾角；船垂直到達對岸所用的時間.

(2)設的夾角為(如圖)，在垂直方向上的分速度的和為，而船到達對岸時，在垂直方向上行駛的路程為，從而所

用的時間為，顯然，當時，最小，即船頭

始終向著對岸時，所用的時間最少，為.

◆提煉方法：理解物理意義，用向量的知識解決.

[研討.欣賞]如圖4,求證ΔABC的三條

角平分,AD,BE,CF交于一點.

證明:設,CF,BE交于點I.由于

C,I,F共線, B,I,E共線,可設

由得,

∵不共線,∴

同理設CF,AD交于點J,,可求得δ=λ,即J與I重合,說明三條角平分線交于一點.

◆方法提煉:相鄰兩邊上單位向量的和向量在兩邊夾角角的平分線上.

2.證向量平行的方法:

(1)共線向量定理；(2)依定義; (3)用幾何方法.

[例3]已知G是△ABC的重心，O是外心,H是垂心,P是平面ABC內任意一點,求證：

(1) ;

(2) ;

(3) ;

(4) 點O、G、H三點共線。

證明：(1)以向量為鄰邊作平行

四邊形GBEC，則，

又G為△ABC的重心知，從而，

∴。

(2)如圖1易知，，；

三式相加得

(3)作輔助線如圖2,DA⊥AC,DB⊥BC,∴DA//BH,DB//AH

在ADBH中,,

∴

(4)在(2)中取P為O,得

∴,點O、G、H共線。

◆提煉方法：1.明確解題目標,用好加法的兩個法則、幾何圖形和向量中處理問題的一些手法，如向量共線、點共線的證法和用法;

[例1]如圖,在梯形ABCD中

　,G為對角線AC、BD的交點，E、

F分別是腰AD、BC的中點，求向量。

解：(1)∵ E,F分別是兩腰的中點，

∴,又

，，

兩式相加得；

(2)設，，

由得：

∴,

◆提煉方法：1.用好“封閉折線的向量和等于零向量”;

2.由共線求交點的方法:待定系數λ,μ.

[例2]設不共線，求證：點P、A、B共線的充要條件是：

　。

證明：充分性：

∴A、P、B共線。

必要性：A、P、B共線，則有

必要性成立。

特例：當時，，此時P為AB的中點，這是向量的中點公式。

◆提煉方法1. 利用向量證明三點共線的方法：

(1) 證明有公共點的的兩個向量平行,則這兩個向量的四個(三個)端點共線；

(2) 利用本題的結論.

7.() ,.提示:作PC//OB,交AO延長線于點C,可知x<0.當時,PC//AB,設PC交OM于D,交AB延長線于E,P必在DE之間,可知.