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2．；

1．；

3．等比數列的性質

①等比數列任意兩項間的關系：如果是等比數列的第項，是等差數列的第項，且，公比為，則有；

②對于等比數列，若，則，也就是：，如圖所示：。

③若數列是等比數列，是其前n項的和，，那么，，成等比數列。

如下圖所示：

2．等比數列的判定方法

①定義法：對于數列，若，則數列是等比數列；

②等比中項：對于數列，若，則數列是等比數列。

1．等比數列的知識要點(可類比等差數列學習)

(1)掌握等比數列定義＝q(常數)(nN)，同樣是證明一個數列是等比數列的依據，也可由a_n·a_n+2＝來判斷；

(2)等比數列的通項公式為a_n＝a₁·q^n－1；

(3)對于G 是a、b 的等差中項，則G²＝ab，G＝±；

(4)特別要注意等比數列前n 項和公式應分為q＝1與q≠1兩類，當q＝1時，S_n＝na₁，當q≠1時，S_n＝，S_n＝。

題型1：等比數列的概念

例1．“公差為0的等差數列是等比數列”；“公比為的等比數列一定是遞減數列”；“a,b,c三數成等比數列的充要條件是b²=ac”；“a,b,c三數成等差數列的充要條件是2b=a+c”，以上四個命題中，正確的有(　　 )

A．1個　　　　 　　 　　 B．2個　　　　　　　　 　　 C．3個　　　　　　　 　 D．4個

解析：四個命題中只有最后一個是真命題。

命題1中未考慮各項都為0的等差數列不是等比數列；

命題2中可知a_n+1=a_n×，a_n+1<a_n未必成立，當首項a₁<0時，a_n<0，則a_n>a_n，即a_n+1>a_n，此時該數列為遞增數列；

命題3中，若a=b=0，c∈R，此時有，但數列a,b,c不是等比數列，所以應是必要而不充分條件，若將條件改為b=，則成為不必要也不充分條件。

點評：該題通過一些選擇題的形式考察了有關等比數列的一些重要結論，為此我們要注意一些有關等差數列、等比數列的重要結論。

例2．命題1：若數列{a_n}的前n項和S_n=aⁿ+b(a≠1)，則數列{a_n}是等比數列；

命題2：若數列{a_n}的前n項和S_n=an²+bn+c(a≠0)，則數列{a_n}是等差數列；

命題3：若數列{a_n}的前n項和S_n=na－n，則數列{a_n}既是等差數列，又是等比數列；上述三個命題中，真命題有(　　 )

A．0個　　　　　　　　 　　 B．1個　　　　　　　　 　　 C．2個　　　　　　　　 　 D．3個

解析： 由命題1得，a₁=a+b，當n≥2時，a_n=S_n－S_n－1=(a－1)·a^n－1。若{a_n}是等比數列，則=a，即=a，所以只有當b=－1且a≠0時，此數列才是等比數列。

由命題2得，a₁=a+b+c，當n≥2時，a_n=S_n－S_n－1=2na+b－a，若{a_n}是等差數列，則a₂－a₁=2a，即2a－c=2a，所以只有當c=0時，數列{a_n}才是等差數列。

由命題3得，a₁=a－1，當n≥2時，a_n=S_n－S_n－1=a－1，顯然{a_n}是一個常數列，即公差為0的等差數列，因此只有當a－1≠0；即a≠1時數列{a_n}才又是等比數列。

點評：等比數列中通項與求和公式間有很大的聯系，上述三個命題均涉及到S_n與a_n的關系，它們是a_n=，正確判斷數列{a_n}是等差數列或等比數列，都必須用上述關系式，尤其注意首項與其他各項的關系。上述三個命題都不是真命題，選擇A。

題型2：等比數列的判定

例3．(2000全國理，20)(Ⅰ)已知數列{c_n}，其中c_n＝2ⁿ+3ⁿ，且數列{c_n+1－pc_n}為等比數列，求常數p；(Ⅱ)設{a_n}、{b_n}是公比不相等的兩個等比數列，c_n=a_n+b_n，證明數列{c_n}不是等比數列。

解析：(Ⅰ)解：因為{c_n+1－pc_n}是等比數列，

故有：(c_n+1－pc_n)²＝(c_n+2－pc_n+1)(c_n－pc_n－1)，

將c_n＝2ⁿ+3ⁿ代入上式，得：

［2ⁿ⁺¹+3ⁿ⁺¹－p(2ⁿ+3ⁿ)］²＝［2ⁿ⁺²+3ⁿ⁺²－p(2ⁿ⁺¹+3ⁿ⁺¹)］·［2ⁿ+3ⁿ－p(2^n－1+3^n－1)］，

即［(2－p)2ⁿ+(3－p)3ⁿ］²

＝［(2－p)2ⁿ⁺¹+(3－p)3ⁿ⁺¹］［(2－p)2^n－1+(3－p)3^n－1］，

整理得(2－p)(3－p)·2ⁿ·3ⁿ＝0，解得p=2或p=3。

(Ⅱ)證明：設{a_n}、{b_n}的公比分別為p、q，p≠q，c_n=a_n+b_n。

為證{c_n}不是等比數列只需證c₂²≠c₁·c₃。

事實上，c₂²＝(a₁p+b₁q)²＝a₁²p²+b₁²q²+2a₁b₁pq，

c₁·c₃＝(a₁+b₁)(a₁p²+b₁q²)＝a₁²p²+b₁²q²+a₁b₁(p²+q²)，

由于p≠q，p²+q²＞2pq，又a₁、b₁不為零，

因此c₂²≠c₁·c₃，故{c_n}不是等比數列。

點評：本題主要考查等比數列的概念和基本性質，推理和運算能力。

例4．(2003京春，21)如圖3-1，在邊長為l的等邊△ABC中，圓O₁為△ABC的內切圓，圓O₂與圓O₁外切，且與AB，BC相切，…，圓O_n+1與圓O_n外切，且與AB、BC相切，如此無限繼續下去.記圓O_n的面積為a_n(n∈N^*)，證明{a_n}是等比數列；

證明：記r_n為圓O_n的半徑，則r₁=tan30°=。=sin30°=，所以r_n=r_n－1(n≥2)，于是a₁=πr₁²=，故{a_n}成等比數列。

點評：該題考察實際問題的判定，需要對實際問題情景進行分析，最終對應數值關系建立模型加以解析。

題型3：等比數列的通項公式及應用

例5．一個等比數列有三項，如果把第二項加上4，那么所得的三項就成為等差數列，如果再把這個等差數列的第三項加上32，那么所得的三項又成為等比數列，求原來的等比數列。

解析：設所求的等比數列為a，aq，aq²；

則2(aq+4)=a+aq²，且(aq+4)²=a(aq²+32)；

解得a=2，q=3或a=，q=－5；

故所求的等比數列為2，6,18或，－，。

點評：第一種解法利用等比數列的基本量，先求公比，后求其它量，這是解等差數列、等比數列的常用方法，其優點是思路簡單、實用，缺點是有時計算較繁。

例6．(2006年陜西卷)已知正項數列，其前項和滿足且成等比數列，求數列的通項

解析：∵10S_n=a_n²+5a_n+6， ①

∴10a₁=a₁²+5a₁+6，解之得a₁=2或a₁=3。

又10S_n－1=a_n－1²+5a_n－1+6(n≥2)，②

由①－②得 10a_n=(a_n²－a_n－1²)+6(a_n－a_n－1)，即(a_n+a_n－1)(a_n－a_n－1－5)=0

∵a_n+a_n－1>0　 , ∴a_n－a_n－1=5 (n≥2)。

當a₁=3時，a₃=13，a₁₅=73，a₁, a₃,a₁₅不成等比數列

∴a₁≠3；

當a₁=2時,，a₃=12， a₁₅=72，有 a₃²=a₁a₁₅ , ∴a₁=2, ∴a_n=5n－3。

點評：該題涉及等比數列的求和公式與等比數列通項之間的關系，最終求得結果。

題型4：等比數列的求和公式及應用

例7．(1)(2006年遼寧卷)在等比數列中,,前項和為,若數列也是等比數列，則等于(　 )

A．　　 　　　　　 B． 　　　　　　　　　　 C．　 　　　　　　　　　　 D．

(2)(2006年北京卷)設，則等于(　 )

　　　 A．　　　　　　　 B．　　　 C．　　 　 D．

(3)(1996全國文，21)設等比數列{a_n}的前n項和為S_n，若S₃+S₆＝2S₉，求數列的公比q；解析：(1)因數列為等比，則，因數列也是等比數列，

則

即，所以，故選擇答案C。

(2)D；

(3)解：若q=1，則有S₃=3a₁，S₆=6a₁，S₉=9a₁。

因a₁≠0，得S₃+S₆≠2S₉，顯然q=1與題設矛盾，故q≠1。

由S₃+S₆=2S₉，得，整理得q³(2q⁶－q³－1)=0，由q≠0，得2q⁶－q³－1=0，從而(2q³+1)(q³－1)=0，因q³≠1，故q³=－，所以q=－。

點評：對于等比數列求和問題要先分清數列的通項公式，對應好首項和公比求出最終結果即可。

例8．(1)(2002江蘇，18)設{a_n}為等差數列，{b_n}為等比數列，a₁＝b₁＝1，a₂+a₄＝b₃，b₂b₄＝a₃．分別求出{a_n}及{b_n}的前10項的和S₁₀及T₁₀；

(2)(2001全國春季北京、安徽，20)在1與2之間插入n個正數a₁，a₂，a₃……，a_n，使這n+2個數成等比數列；又在1與2之間插入n個正數b₁，b₂，b₃，……，b_n，使這n+2個數成等差數列.記A_n＝a₁a₂a₃……a_n，B_n＝b₁+b₂+b₃+……+b_n.

(Ⅰ)求數列{A_n}和{B_n}的通項；

(Ⅱ)當n≥7時，比較A_n與B_n的大小，并證明你的結論。

(3)(2002天津理，22)已知{a_n}是由非負整數組成的數列，滿足a₁＝0，a₂＝3，

a_n+1a_n＝(a_n－1+2)(a_n－2+2)，n＝3，4，5，…．

(Ⅰ)求a₃；

(Ⅱ)證明a_n＝a_n－2+2，n＝3，4，5，…；

(Ⅲ)求{a_n}的通項公式及其前n項和S_n。

解析：(1)∵{a_n}為等差數列，{b_n}為等比數列，

∴a₂+a₄＝2a₃，b₂b₄＝b₃²．

已知a₂+a₄＝b₃，b₂b₄＝a₃，

∴b₃＝2a₃，a₃＝b₃²．

得 b₃＝2b₃²．

∵b₃≠0　 ∴b₃＝，a₃＝．

由a₁＝1，a₃＝知{a_n}的公差為d＝，

∴S₁₀＝10a₁+．

由b₁＝1，b₃＝知{b_n}的公比為q＝或q＝．

當q＝時，，

當q＝時，。

(2)(Ⅰ)設公比為q，公差為d，等比數列1，a₁，a₂，……，a_n，2，等差數列1，b₁，b₂，……，b_n，2。

則A₁＝a₁＝1·q　 A₂＝1·q·1·q²　 A₃＝1·q·1·q²·1·q³

又∵a_n+2＝1·qⁿ⁺¹＝2得qⁿ⁺¹＝2，

A_n＝q·q²…qⁿ＝q(n＝1，2，3…)

又∵b_n+2＝1+(n+1)d＝2　 ∴(n+1)d＝1

B₁＝b₁＝1+d　 B₂＝b₂+b₁＝1+d+1+2d　 B_n＝1+d+…+1+nd＝n

(Ⅱ)A_n＞B_n，當n≥7時

證明：當n＝7時，2^3．5＝8·＝A_n　 B_n＝×7，∴A_n＞B_n

設當n＝k時，A_n＞B_n，則當n＝k+1時，　　　　　　　

又∵A_k+1＝·　 且A_k＞B_k　 ∴A_k+1＞·k

∴A_k+1－B_k+1＞

又∵k＝8，9，10…　 ∴A_k+1－B_k+1＞0，綜上所述，A_n＞B_n成立.

(3)(Ⅰ)解：由題設得a₃a₄＝10，且a₃、a₄均為非負整數，所以a₃的可能的值為1，2，5，10．

若a₃＝1，則a₄＝10，a₅＝，與題設矛盾．

若a₃＝5，則a₄＝2，a₅＝，與題設矛盾．

若a₃＝10，則a₄＝1，a₅＝60，a₆＝，與題設矛盾.

所以a₃＝2.

(Ⅱ)用數學歸納法證明：

①當n＝3，a₃＝a₁+2，等式成立；

②假設當n＝k(k≥3)時等式成立，即a_k＝a_k－2+2,由題設a_k+1a_k＝(a_k－1+2)·(a_k－2+2)，因為a_k＝a_k－2+2≠0，所以a_k+1＝a_k－1+2，

也就是說，當n＝k+1時，等式a_k+1＝a_k－1+2成立；

根據①和②，對于所有n≥3，有a_n+1=a_n－1+2。

(Ⅲ)解：由a_2k－1＝a_2(k－1)－1+2，a₁＝0，及a_2k＝a_2(k－1)+2，a₂＝3得a_2k－1＝2(k－1)，a_2k＝2k+1，k＝1，2，3，…，即a_n＝n+(－1)ⁿ，n＝1，2，3，…。

所以S_n＝

點評：本小題主要考查數列與等差數列前n項和等基礎知識，以及準確表述，分析和解決問題的能力。

題型5：等比數列的性質

例9．(1)(2005江蘇3)在各項都為正數的等比數列{a_n}中，首項a₁＝3，前三項和為21，則a₃+a₄+a₅＝(　　 )

(A)33　　　　 (B)72　　　　 (C)84　　　　 (D)189

(2)(2000上海，12)在等差數列{a_n}中，若a₁₀＝0，則有等式a₁+a₂+…+a_n=a₁+a₂+…+a_19－n(n＜19，n∈N成立.類比上述性質，相應地：在等比數列{b_n}中，若b₉＝1，則有等式　　 成立。

解析：(1)答案：C；解：設等比數列{a_n}的公比為q(q>0)，由題意得:a₁+a₂+a₃=21,即3+3q+3q²=21,q²+q-6=0，求得q=2(q=－3舍去)，所以a₃+a₄+a₅=q²(a₁+a₂+a₃)=4故選C。

(2)答案：b₁b₂…b_n＝b₁b₂…b_17－n(n＜17，n∈N^*)；

解：在等差數列{a_n}中，由a₁₀＝0，得a₁+a₁₉＝a₂+a₁₈＝…＝a_n+a_20－n＝a_n+1+a_19－n＝2a₁₀＝0，

所以a₁+a₂+…+a_n+…+a₁₉＝0，即a₁+a₂+…+a_n＝－a₁₉－a₁₈－…－a_n+1，

又∵a₁＝－a₁₉，a₂＝－a₁₈，…，a_19－n＝－a_n+1

∴a₁+a₂+…+a_n＝－a₁₉－a₁₈－…－a_n+1＝a₁+a₂+…+a_19－n，

若a₉＝0，同理可得a₁+a₂+…+a_n＝a₁+a₂+a_17－n，

相應地等比數列{b_n}中，則可得：b₁b₂…b_n＝b₁b₂…b_17－n(n＜17，n∈N^*)。

點評：本題考查了等比數列的相關概念及其有關計算能力。

例10．(1)設首項為正數的等比數列，它的前n項和為80，前2n項和為6560，且前n項中數值最大的項為54，求此數列的首項和公比q。

(2)在和之間插入n個正數，使這個數依次成等比數列，求所插入的n個數之積。

(3)設等比數列{a_n}的各項均為正數，項數是偶數，它的所有項的和等于偶數項和的4倍，且第二項與第四項的積是第3項與第4項和的9倍，問數列{lga_n}的前多少項和最大？(lg2=0　 3,lg3=0.4)

解析：(1)設等比數列{a_n}的前n項和為S_n，依題意設：a₁＞0，S_n=80 ，S_2n=6560。

　∵S_2n≠2S_n ，∴q≠1；

從而 =80，且=6560。

兩式相除得1+qⁿ=82 ，即qⁿ=81。

∴a₁=q－1＞0 即q＞1,從而等比數列{a_n}為遞增數列，故前n項中數值最大的項為第n項。

∴a₁q^n-1=54,從而(q－1)q^n-1=qⁿ-q^n-1=54。

∴q^n-1=81－54=27

∴q==3。

∴a₁=q－1=2

故此數列的首為2，公比為3。

(2)解法1：設插入的n個數為，且公比為q，

則

。

解法2：設插入的n個數為，

。

(3)解法一　 設公比為q,項數為2m,m∈N^*，

依題意有：，

化簡得，

設數列{lga_n}前n項和為S_n，

則S_n=lga₁+lga₁q²+…+lga₁q^n－1=lga₁ⁿ·q^{1+2+…+(n－1)}

=nlga₁+n(n－1)·lgq=n(2lg2+lg3)－n(n－1)lg3

=(－)·n²+(2lg2+lg3)·n

可見，當n=時，S_n最大，

而=5,故{lga_n}的前5項和最大，

解法二　 接前，,于是lga_n=lg［108()^n－1］=lg108+(n－1)lg，

∴數列{lga_n}是以lg108為首項，以lg為公差的等差數列，

令lga_n≥0，得2lg2－(n－4)lg3≥0，

∴n≤=5.5，

由于n∈N^*,可見數列{lga_n}的前5項和最大。

點評：第一種解法利用等比數列的基本量，先求公比，后求其它量，這是解等差數列、等比數列的常用方法，其優點是思路簡單、實用，缺點是有時計算較繁；第二種解法利用等比數列的性質，與“首末項等距”的兩項積相等，這在解題中常用到。

題型6：等差、等比綜合問題

例11．(2006年廣東卷)已知公比為的無窮等比數列各項的和為9，無窮等比數列各項的和為。

(Ⅰ)求數列的首項和公比；

(Ⅱ)對給定的，設是首項為，公差為的等差數列．求數列的前10項之和。

解析：(Ⅰ)依題意可知：，

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,，所以數列的的首項為,公差，,即數列的前10項之和為155。

點評：對于出現等差、等比數列的綜合問題，一定要區分開各自的公式，不要混淆。

4．等比數列前n項和公式

一般地，設等比數列的前n項和是，當時， 或；當q=1時，(錯位相減法)。

說明：(1)和各已知三個可求第四個；(2)注意求和公式中是，通項公式中是不要混淆；(3)應用求和公式時，必要時應討論的情況。

3．等比中項

如果在中間插入一個數，使成等比數列，那么叫做的等比中項(兩個符號相同的非零實數，都有兩個等比中項)。

2．等比數列通項公式為：。

說明：(1)由等比數列的通項公式可以知道：當公比時該數列既是等比數列也是等差數列；(2)等比數列的通項公式知：若為等比數列，則。

1．等比數列定義

一般地，如果一個數列從第二項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數，那么這個數列就叫做等比數列，這個常數叫做等比數列的公比；公比通常用字母表示，即：：數列對于數列(1)(2)(3)都是等比數列，它們的公比依次是2，5，。(注意：“從第二項起”、“常數”、等比數列的公比和項都不為零)