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例1 求函數y＝sinπ的單調增區間

誤解：令u＝π

∵y＝sinu在［2kπ－，2kπ+］(k∈Z)上遞增

∴2kπ－≤π≤2kπ+

解得－4k≤x≤－4k+2

∴原函數的單調遞增區間為［－4k，－4k+2］(k∈Z)

分析：上述解答貌似正確，實則錯誤，錯誤的原因是，令u＝π，忽視了u是x的減函數，未考慮復合后單調性的變化

正解如下：

解法一：令u＝π，則u是x的減函數

又∵y＝sinu在［2kπ+，2kπ+］(k∈Z)上為減函數，

∴原函數在［2kπ+，2kπ+］(k∈Z)上遞增

設2kπ+≤π≤2kπ+

解得－4k－2≤x≤－4k(k∈Z)

∴原函數在［－4k－2，－4k］(k∈Z)上單調遞增

解法二：將原函數變形為y＝－sinπ

因此只需求sinπ＝y的減區間即可

∵u＝π為增函數

∴只需求sinu的遞減區間

∴2kπ+≤π≤2kπ+

解之得：4k+2≤x≤4k+4(k∈Z)

∴原函數的單調遞增區間為［4k+2，4k+4］(k∈Z)

7．單調性

正弦函數在每一個閉區間［－+2kπ，+2kπ］(k∈Z)上都是增函數，其值從－1增大到1；在每一個閉區間［+2kπ，+2kπ］(k∈Z)上都是減函數，其值從1減小到－1

余弦函數在每一個閉區間［(2k－1)π，2kπ］(k∈Z)上都是增函數，其值從－1增加到1；在每一個閉區間［2kπ，(2k+1)π］(k∈Z)上都是減函數，其值從1減小到－1

6．奇偶性

y＝sinx為奇函數，y＝cosx為偶函數

正弦曲線關于原點O對稱,余弦曲線關于y軸對稱

5．周期性

正弦函數、余弦函數都是周期函數，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π

4．值域

正弦函數、余弦函數的值域都是［－1，1］

其中正弦函數y=sinx,x∈R

①當且僅當x＝+2kπ，k∈Z時，取得最大值1

②當且僅當x＝－+2kπ，k∈Z時，取得最小值－1

而余弦函數y＝cosx，x∈R

①當且僅當x＝2kπ，k∈Z時，取得最大值1

②當且僅當x＝(2k+1)π，k∈Z時，取得最小值－1

3．定義域：

正弦函數、余弦函數的定義域都是實數集R［或(－∞，+∞)］，

分別記作： y＝sinx，x∈R　　 y＝cosx，x∈R

2．用五點法作正弦函數和余弦函數的簡圖(描點法)：

正弦函數y=sinx，x∈[0，2π]的圖象中，五個關鍵點是：

(0,0)　 (,1)　 (p,0)　 (,-1)　 (2p,0)

余弦函數y=cosx　 xÎ[0,2p]的五個點關鍵是

(0,1)　 (,0)　 (p,-1)　 (,0)　 (2p,1)

1．y=sinx，x∈R和y=cosx，x∈R的圖象，分別叫做正弦曲線和余弦曲線．

21.(13分) 已知函數。

(1)若時，函數在其定義域內是增函數，求的取值范圍；

(2)在(1)的結論下，設函數，求函數的最小值

20. (13分)已知奇函數的定義域是,且,當時,

.

(1)求證:是周期函數;

(2)求在區間上的解析式;

(3)求方程的根的個數.