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4．注意代換后參數的等價性

例8已知y＝2sinθcosθ+sinθ－cosθ(0≤θ≤π)，求y的最大值、最小值

解：設t＝sinθ－cosθ＝sin(θ－)

∴2sinθcosθ＝1－t²

∴y＝－t²+t+1＝－(t－)²+

又∵t＝sin(θ－)，0≤θ≤π

∴－≤θ－≤

∴－1≤t≤

當t＝時，y_max＝

當t＝-1時，y_min＝－1

說明：此題在代換中，據θ范圍，確定了參數t∈［－1，］，從而正確求解，若忽視這一點，會發生t＝時有最大值而無最小值的結論

3．注意題中字母(參數)的討論

例7求函數y＝sin²x+acosx+a－(0≤x≤)的最大值

解：∵y＝1－cos²x+acosx+a－＝－(cosx－)²++a－

∴當0≤a≤2時，cosx＝，y_max＝+a－

當a＞2時，cosx＝1，y_max＝a－

當a＜0時，cosx＝0，y_max＝a－

說明：解此題注意到參數a的變化情形，并就其變化討論求解，否則認為cosx＝時，y有最大值會產生誤解

2．注意條件中角的范圍

例6已知｜x｜≤，求函數y＝cos²x+sinx的最小值

解：y＝－sin²x+sinx+1＝－(sinx－)²+

∵－≤x≤

∴－≤sinx≤

∴當sinx＝－時

y_min＝－(－－)²+＝

說明：解此題注意了條件｜x｜≤，使本題正確求解，否則認為sinx＝－1時y有最小值，產生誤解

三角函數最值問題是三角函數性質的重要內容之一，也是會考、高考必考內容，在求解中欲達到準確、迅速，除熟練掌握三角公式外，還應注意以下幾點：

1．注意sinx、cosx自身的范圍

例5求函數y＝cos²x－3sinx的最大值

解：y＝cos²x－3sinx＝－sin²x－3sinx+1＝－(sinx+)²+

∵－1≤sinx≤1，

∴當sinx＝－1時，y_max＝3

說明：解此題易忽視sinx∈［－1，1］這一范圍，認為sinx＝－時，y有最大值，造成誤解

利用變量代換，我們可把三角函數最值問題化成代數函數最值問題求解

例4求f(x)＝sin⁴x+2sin³xcosx+sin²xcos²x+2sinxcos³x+cos⁴x的最大值和最小值

解：f(x)＝(sin²x+cos²x)²－2sin²xcos²x+2sinxcosx(sin²x+cos²x)+sin²xcos²x=1+2sinxcosx－sin²xcos²x

令t＝sin2x

∴－≤t≤　　　　　　　　　　　 ①

f(t)＝1+2t－t²＝－(t－1)²+2　　 ②

在①的范圍內求②的最值

當t＝，即x＝kπ+(k∈Z)時，f(x)_max＝

當t＝－，即x＝kπ+(k∈Z)時，f(x)_min＝－

如果f(x)在［α，β］上是增函數，則f(x)在［α，β］上有最大值f(β)，最小值f(α)；如果f(x)在［α，β］上是減函數，則f(x)在［α，β］上有最大值f(α)，最小值f(β)

例3 在0≤x≤條件下，求y＝cos²x－sinxcosx－3sin²x的最大值和最小值

解：利用二倍角余弦公式的變形公式，有

y＝－2sin2x－3·＝2(cos2x－sin2x)－1

＝2 (cos2xcos－sin2xsin)－1

＝2cos(2x+)－1

∵0≤x≤，≤2x+≤

cos(2x+)在［0，)上是減函數

故當x＝0時有最大值

當x＝時有最小值－1

cos(2x+)在［，］上是增函數

故當x＝時，有最小值－1

當x＝時，有最大值－

綜上所述，當x＝0時，y_max＝1

當x＝時，y_min＝－2－1

利用三角函數的有界性如｜sinx｜≤1，｜cosx｜≤1來求三角函數的最值

例2　 a、b是不相等的正數

求y＝的最大值和最小值

解：y是正值，故使y²達到最大(或最小)的x值也使y達到最大(或最小)

y²＝acos²x+bsin²x+2·+asin²x+bcos²x

＝a+b+

∵a≠b，(a－b)²＞0，0≤sin²2x≤1

∴當sin2x＝±1時，即x＝(k∈Z)時，y有最大值；

當sinx＝0時，即x＝ (k∈Z)時，y有最小值+