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14．設二次函數f(x)＝ax²+bx+c(a>0)，方程f(x)－x＝0的兩個根x₁、x₂滿足0<x₁<x₂<.

(1)當x∈(0，x₁)時，證明x<f(x)<x₁.

(2)設函數f(x)的圖象關于直線x＝x₀對稱，證明：x₀<.

解：(1)令F(x)＝f(x)－x，因為x₁，x₂是方程f(x)－x＝0的根，∴F(x)＝a(x－x₁)(x－x₂)，當x∈(0，x₁)時

∵x₁<x₂得(x－x₁)(x－x₂)>0又a>0得

F(x)＝a(x－x₁)(x－x₂)>0即x<f(x)

x₁－f(x)＝x₁－a(x－x₁)(x－x₂)－x＝(x₁－x)[1+a(x－x₂)]

∵x₁－x>0,1+a(x－x₂)＝1+ax－ax₂>1－ax₂>0

∴x₁－f(x)>0，∴f(x)<x₁，∴x<f(x)<x₁

(2)依題意知x₀＝－，∵x₁，x₂是方程f(x)－x＝0的根，即x₁，x₂是方程ax²+(b－1)x+c＝0的根

∴x₁+x₂＝－，x₀＝－＝＝

∵ax₂<1，∴x₀<＝

13．已知函數f(x)＝ax²+4(a為非零實數)，設函數F(x)＝.

(1)若f(－2)＝0，求F(x)的表達式；

(2)在(1)的條件下，解不等式1≤|F(x)|≤2；

(3)設mn<0，m+n>0，試判斷F(m)+F(n)能否大于0?

解：(1)∵f(－2)＝0，∴4a+4＝0，得a＝－1，

∴f(x)＝－x²+4，

∴F(x)＝.

(2)∵|F(－x)|＝|F(x)|，∴|F(x)|是偶函數，故可以先求x>0的情況，當x>0時，由|F(2)|＝0，故當0<x≤2時，解不等式1≤－x²+4≤2，得≤x≤；當x>2時，解不等式1≤x²－4≤2，得≤x≤；

同理，當x<0時，可解得－≤x≤－或－≤x≤－.

綜上所述，原不等式的解為：

≤x≤或≤x≤或－≤x≤－或－≤x≤－.

(3)∵f(x)＝ax²+4，

∴F(x)＝，

∵mn<0，不妨設m>0，則n<0，

又m+n>0，∴m>－n>0，∴m²>n²，

∴當a>0時，F(m)+F(n)能大于0，

當a<0時，F(m)+F(n)不能大于0.

12．(2009·江蘇卷)設a為實數，函數f(x)＝2x²+(x－a)|x－a|.

(Ⅰ)若f(0)≥1，求a的取值范圍；

(Ⅱ)求f(x)的最小值；

(Ⅲ)設函數h(x)＝f(x)，x∈(a，+∞)，直接寫出(不需給出演算步驟)不等式h(x)≥1的解集．

分析：本小題主要考查函數的概念、性質、圖象及解一元二次不等式等基礎知識，考查靈活運用數形結合、分類討論的思想方法進行探索、分析與解決問題的綜合能力．

解：(Ⅰ)因為f(0)＝－a|－a|≥1，所以－a>0，即a<0.

由a²≥1知a≤－1.

因此，a的取值范圍為(－∞，－1]．

(Ⅱ)記f(x)的最小值為g(a)．我們有

f(x)＝2x²+(x－a)|x－a|

＝

(ⅰ)當a≥0時，f(－a)＝－2a²，

由①②知f(x)≥－2a²，此時g(a)＝－2a².

(ⅱ)當a<0時，f()＝a².

若x>a，則由①知f(x)≥a²；若x≤a，

則x+a≤2a<0，由②知f(x)≥2a²>a².

此時g(a)＝a².

綜上得g(a)＝

(Ⅲ)ⅰ當a∈(－∞，－]∪[，+∞)時，解集為(a，+∞)；

(ⅱ)當a∈[－，)時，解集為[，+∞)；

(ⅲ)當a∈(－，－)時，解集為

(a，]∪[，+∞)．

11．(2008·浙江)已知t為常數，函數y＝|x²－2x－t|在區間[0,3]上的最大值為2，則t＝________.

答案：1

解析：令m＝x²－2x∈[－1,3]，y＝|m－t|的最大值在m＝－1或m＝3時取得，|－m－1|²－|3－m|²＝8(t－1)，當t≥1時，y_max＝|t+1|＝t+1＝2，∴t＝1.

當t<1時，y_max＝|3－t|＝3－t＝2，t＝1(舍去)，綜合分析得t＝1故填1.

10．設x、y是關于m的方程m²－2am+a+b＝0的兩個實根，則(x－1)²+(y－1)²的最小值是________．

答案：8

解析：由Δ＝(－2a)²－4(a+b)≥0得a≤－2或a≥3于是有(x－1)²+(y－1)²＝x²+y²－2(x+y)+2＝(x+y)²－2xy－2(x+y)+2＝(2a)²－2(a+b)－4a+2＝4a²－6a－10＝4(a－)²－.

由此可知，當a＝3時，(x－1)²+(y－1)²取得最小值8.

9．(2008·上海十二校二模)已知f(x)＝|x²－1|+x²+kx，若關于x的方程f(x)＝0在(0,2)上有兩個解x₁，x₂，則k的取值范圍是________．

答案：

解析：f(x)＝|x²－1|+x²+kx

＝

當k≥0時，函數的圖象如圖1，顯然不合題意，當k<0時，函數的圖象如圖2，設g(x)＝2x²+kx－1，h(x)＝kx+1，由題意知

解得－<k<－1，綜上所述，關于x的方程f(x)＝0在(0,2)上有兩個解x₁，x₂，則k的取值范圍是，故填.

8．(2008·華南師大附中)設b>0，二次函數y＝ax²+bx+a²－1的圖象為如下圖之一，則a的值為(　)

A．1　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．－1

C.　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.

答案：B

解析：前兩個圖象的對稱軸－＝0，b＝0，不合題意；由后兩個圖象知－>0，且f(0)＝a²－1＝0，求得a＝－1，故選B.

7．設f(x)是定義在R上的奇函數，且當x≥0時f(x)＝x²，若對任意的x∈[t，t+2]不等式f(x+t)≥2f(x)恒成立，則實數t的取值范圍是(　)

A．[，+∞)　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．[2，+∞)

C．(0,2]　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．[－，－1]∪[，]

答案：A

解析：當t＝時，≤x≤2+，f(x+)－2f(x)＝(x+)²－2x²＝2+2x－x²≥2+2(2+)²－(2+)²＝0.即t＝時不等式成立．

當t＝2時，2≤x≤4，f(x+2)－2f(x)＝(x+2)²－2x²＝4+4x－x²≥4+4×4－4²>0.∴t＝2時不等式成立，所以選A.

6．已知f(x)＝1－(x－a)(x－b)，并且m，n是方程f(x)＝0的兩根，則實數a，b，m，n的大小關系可能是(　)

A．m<a<b<n　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．a<m<n<b

C．a<m<b<n 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．m<a<n<b

答案：A

解析：方程f(x)＝0，m、n可看作f(x)與x軸交點的橫坐標，a、b可看作g(x)＝－(x－a)(x－b)與x軸交點的橫坐標．

所以a，b，m，n可以排列成m<a<b<n的形式，故選A.

5．(2008·成都市第一次檢測題)已知函數y＝f(x)＝x²－2x－3與y＝－3在同一平面直角坐標系中的圖象如右圖所示．記F(x)為“f(|x|)”與“－3”中較小的一個，則下列關于函數y＝F(x)的說法中，正確的是(　)

A．F(4)<F(－5)

B．F(－1)是函數y＝F(x)的一個極小值

C．方程F(x)＝0有兩個實數根

D．y＝F(x)在(－∞，1)上單調遞增

答案：B

解析：在圖形中勾畫出y＝F(x)的圖象，易知選B.