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14. 設復數z=+，

問當x為何實數時，z是⑴實數， ⑵ 虛數，　 ⑶ 純虛數，　 ⑷ z在復平面上對應的點在實軸上方，⑸|z|=1

解：⑴當，即x=a或時z為實數；

⑵當，即且時z為虛數；

⑶當＝0且，即x=1時z為純虛數

⑷.若0<a<1，則0<x<a或x>；若a>1，則x>a或0<x<時z對應的點在實軸上方；

⑸當+＝1即x=1時，|z|=1

[探索題]設z是虛數，ω=z+是實數，且－1＜ω＜2

(1)求|z|的值及z的實部的取值范圍；

(2)設u=，求證：u為純虛數；

(3)求ω－u²的最小值

解(1)：設z=a+bi(a、b∈R，b≠0)，

則ω=a+bi+=(a+)+(b－)i

∵ω是實數，b≠0，

∴a²+b²=1，即|z|=1

∵ω=2a，－1＜ω＜2，

∴z的實部的取值范圍是(－，1)

(2)證明：u==

= =－i

∵a∈(－，1)，b≠0，

∴u為純虛數

(3)解：ω－u²=2a+

=2a－1+

=2［(a+1)+］－3

∵a∈(－，1)，∴a+1＞0

∴ω－u²≥2×2－3=1

當a+1=，即a=0時，上式取等號

∴ω－u²的最小值為1

13. 已知，且復數的虛部減去它的實部所得的差等于，求復數的模；

解.

即

12. 已知復數當求a的取值范圍，

解：

因

故a的取值范圍是

11.已知z是復數，z+2i、均為實數(i為虛數單位)，且復數(z+ai)²在復平面上對應的點在第一象限，求實數a的取值范圍

解：設z=x+yi(x、y∈R)，

∴z+2i=x+(y+2)i，由題意得y=－2

==(x－2i)(2+i)=(2x+2)+ (x－4)i

由題意得x=4，∴z=4－2i

∵(z+ai)²=(12+4a－a²)+8(a－2)i，

根據條件，已知解得2＜a＜6，

∴實數a的取值范圍是(2，6)

10.若復數(a∈R，i為虛數單位位)是純虛數，則實數a的值為_____　

◆練習簡答:1-4.DDDB; 　5.-i ;　 6.0; 7.; 8.; 9.; 10.-6.

[解答題]

9.若 , ，且為純虛數，則實數a的值為___　　　 ．

8.(2005全國Ⅲ).已知復數z₀=3+2i, 復數z滿足zz₀=3z+z₀，則z=　　　　

7.(2006廣東) 若復數滿足方程，則_______

6. (2005湖南)復數z＝i+i²+i³+i⁴+……+i²⁰⁰⁸_{=__________}

5.(2005全國Ⅰ)復數的共軛復數是 ________