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3．勻減速直線運動追勻速運動，當二者速度相同時相距最近，此時假設追不上，以后就永遠追不上了．

2．勻速運動追擊勻加速運動，當二者速度相同時追不上以后就永遠追不上了．此時二者相距最近．

1．勻加速運動追擊勻速運動，當二者速度相同時相距最遠．

2、速度--時間圖象的遷移與妙用

[例4] 一個固定在水平面上的光滑物塊，其左側面是斜面AB，右側面是曲面AC。已知AB和AC的長度相同。兩個小球p、q同時從A點分別沿AB和AC由靜止開始下滑，比較它們到達水平面所用的時間

　 A.p小球先到　　 B.q小球先到　　 C.兩小球同時到　　 D.無法確定

解：可以利用v-t圖象(這里的v是速率，曲線下的面積表示路程s)定性地進行比較。在同一個v-t圖象中做出p、q的速率圖線，顯然開始時q的加速度較大，斜率較大；由于機械能守恒，末速率相同，即曲線末端在同一水平圖線上。為使路程相同(曲線和橫軸所圍的面積相同)，顯然q用的時間較少。

[例5] 兩支完全相同的光滑直角彎管(如圖所示)現有兩只相同小球a和a^/ 同時從管口由靜止滑下，問誰先從下端的出口掉出？(假設通過拐角處時無機械能損失)　　　

解：首先由機械能守恒可以確定拐角處v₁> v₂，而兩小球到達出口時的速率v相等。又由題薏可知兩球經歷的總路程s相等。由牛頓第二定律，小球的加速度大小a=gsinα，小球a第一階段的加速度跟小球a^/第二階段的加速度大小相同(設為a₁)；小球a第二階段的加速度跟小球a^/第一階段的加速度大小相同(設為a₂)，根據圖中管的傾斜程度，顯然有a₁> a₂。根據這些物理量大小的分析，在同一個v-t圖象中兩球速度曲線下所圍的面積應該相同，且末狀態速度大小也相同(縱坐標相同)。開始時a球曲線的斜率大。由于兩球兩階段加速度對應相等，如果同時到達(經歷時間為t₁)則必然有s₁>s₂，顯然不合理。考慮到兩球末速度大小相等(圖中v_m)，球a^/ 的速度圖象只能如實線所示。因此有t₁< t₂，即a球先到。

[例6]一只老鼠從洞口爬出后沿一直線運動，其速度大小與其離開洞口的距離成反比。當其到達距洞口為d₁的A點時速度為v₁．若B點離洞口的距離為d₂(d₂＞d₁)，求老鼠由A運動至B所需的時間。

[解析]圖中的曲線與橫軸所圍面積的數值正是老鼠經過一定的位移所需的時間。如圖所示，取一窄條，其寬度Δx很小(Δx→0)，此段位移所需時間Δt也很小(Δv→0)，可以認為在如此短時間內，老鼠的速度改變很小(Δv→0)，如圖中窄條的面積為A＝Δx=，這正表示老鼠經位移Δx所需的時間。故圖中，圖線=，x₁＝d_l，x₂＝d₂及x軸所圍的梯形面積正是老鼠由d_l爬至d₂所需的時間。K=v₁d₁=v₂d₂;T=。

說明：利用圖象的物理意義來解決實際問題往往起到意想不到的效果．在中學階段某些問題根本無法借助初等數學的方法來解決，但如果注意到一些圖線的斜率和面積所包含的物理意義，則可利用比較直觀的方法解決問題。

[例7]甲、乙兩車同時同向沿直線駛向某地，甲在前一半時間以v₁勻速運動，后一半時間以v₂勻速運動.乙在前一半路程以v₁勻速運動，后一半路程以v₂勻速運動，先到目的地的是____.

[例8]質點P以O點為平衡位置豎直向上作簡諧運動，同時質點Q也從O點被豎直上拋，它們恰好同時到達最高點，且高度相同，在此過程中，兩質點的瞬時速度v_P與v_Q的關系應該是 [　D　 ]

　A.v_P＞v_Q.　B.先v_P＞v_Q，后v_P＜v_Q，最后v_P=v_Q=0.

　C.v_P＜v_Q.　D.先v_P＜v_Q，后v_P＞v_Q，最后v_P=v_Q=0.

解析：這也是用解析方法很難下手的題目，但若能利用題設條件，畫好、分析好兩個質點的v－t圖線，就能很快找到答案.

　先在圖中畫出Q作勻減速運動的v－t圖象.由于P作簡諧運動，當它由平衡位置向極端位置運動過程中，受到的回復力從零開始不斷變大，它的加速度也從零開始不斷變大，速度不斷變小，P作加速度不斷增大的減速運動，其v－t圖線是一條曲線.根據v－t圖線上任一點的切線的斜率數值上等于質點在該時刻的加速度，由于P的加速度由零開始不斷變大，畫出曲線切線斜率的絕對值也應由零開始不斷增大，即曲線的切線應從呈水平狀態開始不斷變陡，那么只有向右邊凸出的下降的曲線才能滿足這樣的條件.又因P與Q的運動時間相等，所以曲線的終點也應在t，P與Q的路程相等，所以曲線包圍的面積應等于三角形v_Q0Ot的面積，根據這些要求，曲線的起點，即質點P的初速度v_P0必定小于Q的初速v_Q0，且兩條v－t圖線必定會相交，如圖7中的實線所示.圖7的兩條虛線表示的質點P的v－t圖線都不滿足題設條件(P與Q的路程相等)，所以(D)選項正確.

試題展示

運動學典型問題及解決方法

基礎知識　　 一、相遇、追及與避碰問題

對于追及問題的處理，要通過兩質點的速度比較進行分析，找到隱含條件(即速度相同時，而質點距離最大或最小)。再結合兩個運動的時間關系、位移關系建立相應的方程求解，必要時可借助兩質點的速度圖象進行分析�！　�

2、速度時間圖象

(1)它反映了運動物體速度隨時間的變化關系．

(2)勻速運動的V一t圖線平行于時間軸．

(3)勻變速直線運動的V-t圖線是傾斜的直線，其斜率數值上等于物體運動的加速度．

(4)非勻變速直線運動的V一t圖線是曲線，每點的切線方向的斜率表示該點的加速度大小．　　

規律方法　 1、s--t圖象和v--t圖象的應用

[例1]甲、乙、兩三物體同時同地開始做直線運動，其位移一時間圖象如圖所示，則在t₀時間內，甲、乙、丙運動的平均速度的大小關系分別是：V_甲　　 V_乙　　 V_丙(填“＞”、“＝”或“＜”)，它們在t₀時間內平均速率大小關系為V^/_甲＿V^/_乙＿V^/_丙·

解析：由圖可知，在t₀時間內它們的位移相同，由平均速度的定義，故可知甲、乙、兩三者在t₀時間內的平均速度的大小相同，即V_甲=V_乙=V_丙，而平均速率是指質點運動的路程(質點運動軌跡的長度)與時間的比值，由圖中可知，質點在to時間內，甲的路程最長，(由圖象中可知甲有回復運動)故甲的平均速率最大，而乙和丙路程相同，故乙和丙的平均速率相同，即V^/_甲＞V^/_乙=V^/_丙．

注意：平均速率不是平均速度的大�。畬τ趫D象問題，要求把運動物體的實際運動規律與圖象表示的物理含義結合起來考慮．

[例2]物體沿一直線運動，在t時間內通過的路程為S。它在中間位置½S處的速度為v₁，在中間時刻½t時的速度為v₂，則v₁、v₂的關系為

A．當物體作勻加速直線運動時，v₁＞v₂

B．當物體作勻減速直線運動時，v₁＜v₂；

c．當物體作勻速直線運動時，v₁＝v₂

D．當物體作勻減速直線運動時，v₁＞v₂　　

[解析]由題意，作出物體的v一t關系圖，½S點處的虛線把梯形面積一分為二，如圖所示，由圖可知，無論物體作勻加速直線運動還是作勻減速直線運動。在路程中間位置的速度v₁始終大于中間時刻的速度v₂，當物體作勻速直線運動時，在任何位置和任何時刻的速度都相等。

　　 故正確答案A、C、D。

[例3]甲、乙、丙三輛汽車以相同的速度同時經過某一路標，從此時開始，甲車一直做勻速直線運動，乙車先加速后減速，丙車先減速后加速，它們經過下一路標時速度又相同，則哪一輛車先經過下一個路標？

解析：由題可知這三輛汽車的初、末速度相同，它們發生的位移相同，而題中并不知乙、丙兩車在各階段是否做勻速直線運動，因此，我們只能分析它們的一般運動，即變速直線運動，這樣勻變速直線運動的規律就無法求解這一問題，如果我們利用圖象法，即在同一坐標系中，分別做出這三輛車的v-t圖象，如圖所示，由此可知：乙車到達下一個路標的時間最短，即乙車最先通過下一個路標。

說明：圖象法是根據物體的運動規律及題中條件，將復雜的運動過程轉化成簡單、直觀過程的一種思維方法。

(1)s--t圖象和v--t圖象，只能描述直線運動--單向或雙向直線運動的位移和速度隨時間的變化關系，而不能直接用來描述方向變化的曲線運動。

(2)當為曲線運動時，應先將其分解為直線運動，然后才能用S-t或v一t圖象進行描述。

1、位移時間圖象

　 位移時間圖象反映了運動物體的位移隨時間變化的關系，勻速運動的S-t圖象是直線，直線的斜率數值上等于運動物體的速度；變速運動的S－t圖象是曲線，圖線切線方向的斜率表示該點速度的大小．

3、兩種運動的聯系與應用

[例6]自高為H的塔頂自由落下A物的同時B物自塔底以初速度v₀豎直上拋，且A、B兩物體在同一直線上運動．下面說法正確的是(　　 )

　　 A．若v₀＞兩物體相遇時，B正在上升途中　　 B、v₀=兩物體在地面相遇

　　 C．若＜v₀＜，兩物體相遇時B物正在空中下落

　　 D．若v₀＝，則兩物體在地面相遇

　 解析：由A、B相對運動知，相遇時間t=H/ v₀，B物上升到最高點需時間t₁= v₀/g．落回到拋出點時間t₂＝2v₀/g

　　 要在上升途中相遇，t＜t₁，即H/ v₀＜v₀/g。v₀＞，要在下降途中相遇．t₁＜ t＜ t₂，即v₀/g＜H/ v₀＜2v₀/g．＜v₀＜

　　 在最高點相遇時t＝t₁，vo=；　　 在地面相遇時．t＝t₂，vo=．

答案：ACD

[例7]子彈從槍口射出速度大小是30m/s，某人每隔1s豎直向上開一槍，假設子彈在升降過程中都不相碰，試求

(1)空中最多能有幾顆子彈？

(2)設在t=0時將第一顆子彈射出，在哪些時刻它和以后射出的子彈在空中相遇而過？

(3)這些子彈在距原處多高的地方與第一顆子彈相遇？(不計空氣阻力，g取10m/s²)

解：(1)設子彈射出后經ts回到原處

t=0時第一顆子彈射出，它于第6s末回到原處時，第七顆子彈射出，所以空中最多有六顆子彈．

(2)設第一顆子彈在空中運動t₁s，和第二顆子彈在空中相遇．V₁=v₀－gt，V₂=v₀－g(t₁－1)

由對稱性v₂=-v₁，即v₀-g(t₁-1)=gt₁-v₀ 解得 t₁=3.5(s)

同理，第一顆子彈在空中運動t₂=4.0s、t₃=4.5s、t₄=5.0s、t₅=5.5s分別與第三顆子彈、第四顆子彈、第五顆子彈、第六顆子彈在空中相遇．

(3)由，將t₁=3.5s，t₂=4.0s，t₃=4.5s，t₄=5.0s和 t₅=5.5s分別代入上式，得h₁=43.75m，h₂=40m，h₃=33.75m，h₄=25m，h₅=13.75m。

試題展示

　　　　　　 勻變速直線運動圖象

基礎知識一．對于運動圖象要從以下幾點來認識它的物理意義：

　　 a．從圖象識別物體運動的性質。

　　 b．能認識圖像的截距的意義。

　　 C．能認識圖像的斜率的意義。

　　 d．能認識圖線覆蓋面積的意義。

　　 e．能說出圖線上一點的狀況。

2、充分運用豎直上拋運動的對稱性

(1)速度對稱：上升和下降過程經過同一位置時速度等大反向。

(2)時間對稱：上升和下降過程經過同一段高度的上升時間和下降時間相等。

[例4]某物體被豎直上拋，空氣阻力不計，當它經過拋出點之上0.4m時，速度為3m/s．它經過拋出點之下0.4m時，速度應是多少？(g=10m/s²)

解法一：豎直上拋物體的上拋速度與落回原拋出點速度大小相等．因此，物體在拋出點之上0.4m處，上升階段或下降階段的速度大小都是3m/s．若以下落速度3m/s為初速度，0.4+0.4(m)為位移量，那么所求速度就是設問的要求．

解法二 ：物體高度為h₁=0.4m時速度為v₁，則

物體高度為h₂=-0.4m時速度為v₂，則

由以上兩式式消去v₀得_，

[例5]一個從地面豎直上拋的物體，它兩次經過一個較低的點a的時間間隔是Ta，兩次經過一個較高點b的時間間隔是Tb，則a、b之間的距離為(　　 )

；　 ；　 ；　　

解析：根據時間的對稱性，物體從a點到最高點的時間為Ta/2，從b點到最高點的時間為Tb/2，所以a點到最高點的距離ha=，b點到最高點的距離hb=，

故a、b之間的距離為ha－hb=，即選A

3．上升階段與下降階段的特點

　(l)物體從某點出發上升到最高點的時間與從最高點回落到出發點的時們相等。即　 t_上=v₀/g=t_下　 所以，從某點拋出后又回到同一點所用的時間為t=2v₀/g

　(2)上把時的初速度v₀與落回出發點的速度V等值反向，大小均為；即　　 V=V₀=

　　 注意：①以上特點適用于豎直上拋物體的運動過程中的任意一個點所時應的上升下降兩階段，因為從任意一點向上看，物體的運動都是豎直上拋運動，且下降階段為上升階段的逆過程．

　　 ②以上特點，對于一般的勻減速直線運動都能適用。若能靈活掌握以上特點，可使解題過程大為簡化．尤其要注意豎直上拋物體運動的時稱性和速度、位移的正負。

規律方法　　　 1、基本規律的理解與應用

[例1]從一定高度的氣球上自由落下兩個物體，第一物體下落1s后，第二物體開始下落，兩物體用長93.1m的繩連接在一起．問：第二個物體下落多長時間繩被拉緊．

解法一　 設第二個物體下落ts后繩被拉緊，此時兩物體位移差Δh=93.1m

Δh=，即93.1=，解得　 t=9(s)

解法二　 以第二個物體為參照物．在第二個物體沒開始下落時，第一個物體相對第二個物體做自由落體運動；1s后，第二個物體開始下落，第一個物體相對第二個物體做勻速運動，其速度為第一個物體下落1s時的速度．當繩子被拉直時，第一個物體相對第二個物體的位移為h=93.1m．h=h₁+h₂

，即　　 解得　　　 t=9(s)

[例2]利用水滴下落可以測量重力加速度g，調節水龍頭，讓水一滴一滴地流出。在水龍頭的正下方放一個盤子，調整盤子的高度，使一個水滴碰到盤子時，恰好有另一個水滴從水龍頭開始下落，而空中還有一個正在下落的水滴。測出水龍頭到盤子的距離為h，再用秒表測時間。從第一個水滴離開水龍頭開時計時，到第n個水滴落到盤子中，共用時間為t₀問：第一個水滴落到盤中時，第二個水滴離開水龍頭的距離為多少？可測得的重力加速度為多少？

[解析]由于水龍頭滴水的時間間隔是恒定的，因此，題中所提到的某一時刻恰好滴到盤子的水滴和正在空中下落的水滴，這兩個水滴的狀態可以看做是同一個水滴離開水龍頭做自由落體運動的兩個狀態：滴到盤子的水滴運動時間為2t₁，正在空中下落的水滴的位置相當于下落時間為t₁的位置，通過比例關系可解每個水滴在下落的一半時間內的下落高度即為所求。依題意數清楚在計時t內有多少個水滴離開水龍頭，就得到了相鄰兩滴水滴落下的時間間隔，將此時間間隔用于開始下落的過程上，可解出重力加速度的表達式。

　　 解：滴水的時間間隔恒定，視為同一滴水在下落h段的時間分為相等的兩段，前段時間內下落h₁．則由初速為零的勻加速直線運動的比例關系，有:h_l：h＝1：4；而h_l就是第一個水滴落到盤中時，第二個水滴離開水龍頭的距離：h₀。從開始計時到第n個水滴落到盤子中，共有(n+1)個水滴離開水龍頭，相鄰兩滴水滴落下的時間間隔為t₁＝。

從開始下落經歷t₁下落了h，由h＝得：g＝

[例3]將一輕質球豎直上拋，若整個運動過程中，該球所受空氣阻力大小不變，上升時間為t_上，下降時間為 t_下，拋出時速度為 v₀，落回時速度為v_t，則它們間的關系是(　 )

　　 A．t_上＞t_下，v₀＞v_t； B．t_上＜t_下，v₀＜v_t　　 C．t_上＜t_下，v₀＞v_t；D．t_上=t_下，v₀＝v_t

解析：a_上＝，a_下＝，所以a_上＞a_下． t_上＝，t_下＝。所以t_上＜t_下，v₀＝，v_t＝，所以v₀＞v_t　　 答案：C

2．兩種處理辦法：

(1)分段法：上升階段看做末速度為零，加速度大小為g的勻減速直線運動，下降階段為自由落體運動．

(2)整體法：從整體看來，運動的全過程加速度大小恒定且方向與初速度v₀方向始終相反，因此可以把豎直上拋運動看作是一個統一的減速直線運動。這時取拋出點為坐標原點，初速度v₀方向為正方向，則a=一g�！　�