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2．已知函數f(x)=x⁴－4x³+10x²，則方程f(x)=0在區間［1，2］上的根有

A．3個　　　　　　 　　　 B．2個　　　　　　　　　　　　 C．1個　　　　　　 D．0個

3．導數是研究函數問題的工具，注意它在其它數學問題中的綜合與應用。

同步練習 　　　11．5 導數的綜合應用　

[選擇題]

1某物體作s=2(1－t)²的直線運動，則t=0．8 s時的瞬時速度為　 (　 )

A．4　　　　　　　 B．－4　　　　　 C－4．8　　　　　 D－0．8

2．利用導數證明不等式有兩種方法：

1．利用導數求解不等式問題的核心是利用導數判定函數的單調性，這就轉化為一般的函數問題；

由= +得M的坐標為(x,y), 由x₀,y₀滿足C的方程,得點M的軌跡方程為:

+ =1 (x>1,y>2)　

(Ⅱ)| |²= x²+y²,　 y²= =4+ ,

∴| |²= x²－1++5≥4+5=9　 且當x²－1= ,即x=>1時,上式取等號　

故||的最小值為3

[研討欣賞](2006湖北) 設x=3是函數f(x)=(x²+ax+b)e^3-x(x∈R)的一個極值點．

(1)求a與b的關系式(用a表示b)，并求f(x)的單調區間；

(2)設>0，=()．若存在使得||<1成立，求的取值范圍．

解：(1)　　　　　　　　　　　　　　

由f′(3)=0得

所以

令f′(x)=0得

由于x=3是f(x)的極值點，故x₁≠x₂，即a≠-4

當時，，故f(x)在上為減函數，在上為減函數，在上為增函數

當a>4時，x₁>x₂，故f (x)在(－∞,－a－1]上為減函數，在[－a－1,3]上為增函數，在[3,+∞)上為減函數．

(2)當a>0時，－a－1<0，故f(x)在[0,3]上為增函數，在[3,4]上為減函數，在[3,+∞)上為減函數

因此f(x)在[0,4]上的值域為

而在[0,4]上為增函數，所以值域為

注意到，

故由假設知解得

故的取值范圍是

考查知識：函數、不等式和導數的應用知識，考查綜合運用數學知識解決問題的能力．

[例1]證明：當x>0時，有

證明：設f(x)=x-sinx,于是f(0)=0．

∵f^/(x)=1-cosx(僅在x=2kπ(k∈Z)處f^/(x)=0

∴當x>0時，f(x)單調遞增，從而有f(x)>f(0)

即x-sinx>0, x>sinx(x>0)

為證不等式，設

g(x)=sinx-x+,則g(0)=0,

于是g^/(x)>0,∴g(x)在x>0時遞增，從而有g(x)>g(0)=0

即

故當x>0時有

提煉方法：證不等式的依據I：

(1) 若函數f(x)在x>a可導，且遞增，則f(x)>f(a);

(2) 若函數f(x)在x>a可導，且遞減，則f(x)《f(a);

關鍵在于構造恰當的函數，一般是左-右，右-左，左÷右等。

[例2]已知

求證：函數f(x)圖像上的點不可能在函數g(x)圖像的上方。

證明：設F(x)=(2-x)e^x-1,(x<2)

∵F^/(x)=(1-x)e^x-1,

當x<1時，F^/(x)>0,當1<x<2時，F^/(x)<0．

∴x=1時，F(x)有極大值，也就是最大值。

∴F(x)≤F(1)=1,又x<2,

∴

∴函數f(x)圖像上的點不可能在函數g(x)圖像的上方。

提煉方法：證不等式的依據II：

(1)若函數f(x)在某一范圍內有最小值m,則f(x)≥m．

(2)若函數f(x)在某一范圍內有最大值M，則f(x)≤m．

[例3](2006全國Ⅰ)已知函數　

(Ⅰ)設a>0，討論y=f(x)的單調性；

(Ⅱ)若對任意x∈(0,1)恒有f(x)>1，求a的取值范圍

解(Ⅰ)f(x)的定義域為(－∞,1)∪(1,+∞)。 對f(x)求導數得 f '(x)= e^－ax　 　

(ⅰ)當a=2時, f '(x)= e^－2x, f '(x)在(－∞,0), (0,1)和(1,+ ∞)均大于0, 所以f(x)在(－∞,1), (1,+∞) 為增函數；

(ⅱ)當0<a<2時, f '(x)>0, f(x)在(－∞,1), (1,+∞)為增函數；　

(ⅲ)當a>2時, 0<<1, 令f '(x)=0 ,解得x₁= － , x₂= 　

當x變化時, f '(x)和f(x)的變化情況如下表：

x	(-∞, -)	(-,)	(,1)	(1,+∞)
f '(x)	+	－	+	+
f(x)	↗	↘	↗	↗

f(x)在(－∞, －), (,1), (1,+∞)為增函數, f(x)在(－,)為減函數。

(Ⅱ)(ⅰ)當0<a≤2時, 由(Ⅰ)知: 對任意x∈(0,1)恒有f(x)>f(0)=1

(ⅱ)當a>2時, 取x₀= ∈(0,1),則由(Ⅰ)知 f(x₀)<f(0)=1

(ⅲ)當a≤0時, 對任意x∈(0,1),恒有 >1且e^－ax≥1,得

f(x)= e^－ax≥ >1　 綜上當且僅當a∈(－∞,2]時,對任意x∈(0,1)恒有f(x)>1 。

特別提示：對于求單調區間、極值、最值問題，根據導數的零點把定義區間分開，列出表格，再分析各區間導數的符號，進而確定單調區間、極值最值，清楚直觀不易出錯。

[例4] 　(2006全國Ⅰ) 在平面直角坐標系中，有一個以和為焦點、離心率為的橢圓，設橢圓在第一象限的部分為曲線C，動點P在C上，C在點P處的切線與軸的交點分別為A、B，且向量　 求：

(Ⅰ)點M的軌跡方程；

(Ⅱ)的最小值。

解: 橢圓方程可寫為: + =1　 式中a>b>0 , 且　 得a²=4,b²=1,所以曲線C的方程為:　 x²+ =1 (x>0,y>0)　 y=2(0<x<1) y '=－

設P(x₀,y₀),因P在C上,有0<x₀<1, y₀=2, y '|_x=x0= － ,得切線AB的方程為:

6．設f(x)=x³－3x+c，則(x)=3x²－3=3(x²－1)．

當x∈(0，1)時，(x)<0恒成立．

∴f(x)在(0，1)上單調遞減．

∴f(x)的圖象與x軸最多有一個交點．

因此方程x³－3x+c=0在［0，1)上至多有一實根．

5． y′=－4x²+b，若y′值有正、有負，則b>0．答案：b>0

6．方程x³－3x+c=0在［0，1］上至多有_______個實數根．

簡答:1－4．DBDC；

5．若函數y=－x³+bx有三個單調區間，則b的取值范圍是________．