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12．三垂線定理的逆定理：在平面內的一條直線，如果和這個平面的一條斜線垂直，那麼它也和這條斜線的射影垂直　 推理模式： ．

注意：⑴三垂線指PA，PO，AO都垂直α內的直線a 其實質是：斜線和平面內一條直線垂直的判定和性質定理 ⑵要考慮a的位置，并注意兩定理交替使用

基本題型：

10．直線和平面所成角(1)定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角叫做這條斜線和這個平面所成的角一直線垂直于平面，所成的角是直角

一直線平行于平面或在平面內，所成角為0°角。直線和平面所成角范圍： [0，]

(2)定理：斜線和平面所成角是這條斜線和平面內經過斜足的直線所成的一切角中最小的角

11 三垂線定理 　在平面內的一條直線，如果它和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直

說明：(1)定理的實質是判定平面內的一條直線和平面的一條斜線的垂直關系；

(2)推理模式：

9．射影長相等定理:從平面外一點向這個平面所引的垂線段和斜線中⑴射影相交兩條斜線相交；射影較長的斜線段也較長⑵相等的斜線段射影相等，較長的斜線段射影較長；⑶垂線段比任何一條斜線段都短

7．平面幾何中，點、線段在直線上射影的概念及性質：

8 斜線,垂線,射影

⑴垂線　 自一點向平面引垂線,垂足叫這點在這個平面上的射影. 這個點和垂足間的線段叫做這點到這個平面的垂線段.

⑵斜線　 一條直線和一個平面相交,但不和這個平面垂直,這條直線叫做這個平面的斜線斜線和平面的交點叫斜足；斜線上一點與斜足間的線段叫這點到這個平面的斜線段

⑶射影 過斜線上斜足外的一點向平面引垂線,過垂足和斜足的直線叫做斜線在這個平面內的射影垂足和斜足間線段叫這點到這個平面的斜線段在這個平面內的射影

直線與平面平行，直線在平面由射影是一條直線直線與平面垂直射影是點斜線任一點在平面內的射影一定在斜線的射影上

17．　 正四面體ABCD的棱長為a，球O是內切球，球O₁是與正四面體的三個面和球O都相切的一個小球，求球O₁的體積．

16．表面積為的球，其內接正四棱柱的高是，求這個正四棱柱的表面積

14.正方體全面積是，它的外接球的體積是　　　 ，內切球的體積是　　　 ．

15?球O₁、O₂分別與正方體的各面、各條棱相切，正方體的各頂點都在球O₃的表面上，求三個球的表面積之比．

13.把半徑分別為3，4，5的三個鐵球，熔成一個大球，則大球半徑是　　　 ；

12.若球的大圓面積擴大為原來的倍，則球的體積比原來增加　　　 倍；

11．三個球的半徑之比為，那么最大的球的體積是其余兩個球的體積和的　　　 倍；