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2．兩個平面垂直的判定方法(判定方法有兩種，一是利用定義，二是利用判定定理．)

1．兩個平面垂直的定義、畫法

3．如圖，正方體的棱長為1，，求：

(1)與所成角；

(2)與平面所成角的正切值；

(3)平面與平面所成角

解：(1)∵ ∴與所成角就是

∵平面 ∴(三垂線定理)

在中， 　　∴

(2)作，平面平面

∴平面，為與平面所成角

在中，　 ∴

(3)∵　 ∴平面

又∵平面　 ∴平面平面

即平面與平面所成角為

說明：本題包含了線線角，線面角和面面角三類問題，求角度問題主要是求兩條異面直線所成角，直線和平面所成角，二面角三種；求角度問題解題的一般步驟是：(1)找出這個角；(2)證明該角符合題意；(3)作出這個角所在的三角形，解三角形，求出角；求角度問題不論哪種情況都歸結到兩條直線所成角問題，即在線線成角中找到答案

2．如果二面角的平面角是銳角，點到的距離分別為，求二面角的大小

分析：點可能在二面角內部，也可能在外部，應區別處理

解：如圖1是點在二面角的內部時，圖2是點在二面角外部時，

∵　 ∴

∵　 ∴面

同理，面

而面面

∴面與面應重合

即在同一平面內，

則是二面角的平面角

在中，　 ∴

在中，　 ∴

故(圖1)或(圖2)

即二面角的大小為或

說明：作一個垂直于棱的平面，此平面與兩個半平面的交線所成的角就是二面角的平面角

1．直角的斜邊在平面內，與所成角分別為，是斜邊上的高線，求與平面所成角的正弦值

解：過點作于點，連接，

則，，為所求與所成角，記為，

令，則，

則在中，有

在中，

∴與平面所成角的正弦值.

例1 如圖，已知是圓的直徑，垂直于所在的平面，是圓周上不同于的任一點，求證：平面平面．

分析：根據“面面垂直”的判定定理，要證明兩平面互相垂直，只要在其中一個平面中尋找一條與另一平面垂直的直線即可

解：∵是圓的直徑，∴，

又∵垂直于所在的平面，∴，

∴平面，又在平面中，

所以，平面平面．

說明：由于平面與平面相交于，所以如果平面平面，則在平面中，垂直于的直線一定垂直于平面，這是尋找兩個平面的垂線的常用方法

例2．已知，求證：．

證明：設，

在內取點，過作于，于點，

∵，∴，

又∵，

∴，同理可得，

∴．

例3．已知在一個的二面角的棱長有兩點，分別是在這個二面角的兩個平面內，且垂直于線段，又知，求的長

解：由已知

，

∴

，

3．兩平面垂直的性質定理： 若兩個平面互相垂直，那么在一個平面內垂直于它們的交線的直線垂直于另一個平面

已知：于點，

求證：．(面面垂直線面垂直)

證明：在內過作，則由題意得是的平面角，

∵知，又∵， ∴．

1 兩個平面垂直的定義：

兩個相交成直二面角的兩個平面互相垂直；相交成直二面角的兩個平面叫做互相垂直的平面

2．兩平面垂直的判定定理： 如果一個平面經過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直

已知：直線平面，平面，垂足為，

求證：．(線面垂直面面垂直)

證明：如圖所示，令，則，

在內過作，

∵，∴，

∴是二面角的平面角，

又∵，∴是直角，

所以，與所成的二面角是直角，即．

實例：建筑工地在砌墻時，常用鉛垂的線來檢查所砌的墻是否和水平面垂直

4．二面角的平面角：

　 (1)過二面角的棱上的一點分別在兩個半平面內作棱的兩條垂線，則叫做二面角的平面角

(2)一個平面垂直于二面角的棱，且與兩半平面交線分別為為垂足，則也是的平面角

說明：(1)二面角的平面角范圍是；

(2)二面角的平面角為直角時，則稱為直二面角，組成直二面角的兩個平面互相垂直

2．公式：已知平面a的斜線a與a內一直線b相交成θ角，且a與a相交成j₁角，a在a上的射影c與b相交成j₂角，則有

3 二面角的概念：平面內的一條直線把平面分為兩個部分，其中的每一部分叫做半平面；從一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，每個半平面叫做二面角的面若棱為，兩個面分別為的二面角記為；二面角的圖形表示：

第一種是臥式法，也稱為平臥式：

第二種是立式法，也稱為直立式：