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1.對排列、組合的應用題應遵循兩個原則：一是按元素的性質進行分類；二是按事件發生的過程進行分步.

[例1]設有編號為1，2，3，4，5的五個球和編號為1，2，3，4，5的五個盒子，現將這五個球放入5個盒子內

(1)只有一個盒子空著，共有多少種投放方法？

(2)沒有一個盒子空著，但球的編號與盒子編號不全相同，有多少種投放方法？

(3)每個盒子內投放一球，并且至少有兩個球的編號與盒子編號是相同的，有多少種投放方法？

解:(1) =1200(種)　　　　 (2)-1=119(種)　　　　　　　　　　

(3)不滿足的情形：第一類，恰有一球相同的放法：×9=45

第二類，五個球的編號與盒子編號全不同的放法：

　 先讓1號球放，1號球放到哪個盒中就讓哪個球放，……

有 4×(2+3×3)=44 (種) , ∴ 滿足條件的放法數為：-45-44=31(種)

　 [例2]某運輸公司有3個車隊,每個車隊有10輛汽車, 現從這3個車隊中選派6輛汽車執行一項運輸任務,每個車隊至少1輛共有多少種選派方法?

　 分析：這里所謂不同的選派方法，只是每個車隊派車數目的不同，是相同元素的分組問題--用“插板法”

　 解：把6個派車指標排成一排，是一種排法，有5個空，插2個板，分成3組即可，共有　　 =10(種)

◆拓展引伸：方程x+y+z=7有多少組正整數解？(看成7個相同的元素分給3人)

　 若求方程x+y+z=7有多少組自然數解呢？(讓3人每人拿出1個元素，如上法分10個元素)

[例3]某學習小組有8名同學,從男生中選2人,女生中選1人參加數學、物理、化學三種競賽，要求每科均有一人參加，共有180種不同的選法，那么該小組中共有男女同學多少人？

解：設有男生n人，女生8-n人，則有即(n-1)n(8-n)=60.

又

60的小于等于7的因數有1、2、3、4、5、6，因為n-1和n相鄰，

∴n=5,8-n=3,即男生5人，女生3人，或n=6,8-n=2，即男生6人，女生2人。

◆　 提煉方法：1.引進待定的未知數,列方程求解;

2.“先取元素，后排順序”.一類重要題型和方法。

[例4]一棟7層的樓房備有電梯,現有A,B,C,D,E五人從一樓進電梯上樓，求

(1)有且僅有一人要上7樓，且甲不在2樓下電梯的所有可能情況種數.

(2)在(1)的條件下,一層只能下1個人,共有多少種情況?

解: (1)分A上不上7樓兩類：

　A上7樓，有5⁴種； A不上7樓，有4×4×4³種.

共有5⁴+4×4×4³＝1649種．

(2)分2樓下人和不下人兩類,每類再分A上不上7樓兩種情況.

2樓下人,有種;　 2樓不下人,有種

∴共有 =504種情況.

◆提煉方法：題(1)是計數原理,題(2)是排列組合,應注意區分.

[研討.欣賞](1)一條長椅上有9個座位，3個人坐，若相鄰2人之間至少有2個空椅子，共有幾種不同的坐法?

(2)一條長椅上有7個座位，4個人坐，要求3個空位中，恰有2個空位相鄰，共有多少種不同的坐法?

解：(1)先將3人(用×表示)與4張空椅子(用□表示)排列如圖(×□□×□□×)，這時共占據了7張椅子，還有2張空椅子，一是分開插入，如圖中箭頭所示(↓×□↓□×□↓□×↓)，從4個空當中選2個插入，有C種插法；二是2張同時插入，有C種插法，再考慮3人可交換有A種方法.

所以，共有A(C+C)=60(種).

下面再看另一種構造方法：

先將3人與2張空椅子排成一排，從5個位置中選出3個位置排人，另2個位置排空椅子，有AC種排法，再將4張空椅子中的每兩張插入每兩人之間，只有1種插法，所以所求的坐法數為A·C=60.

(2)可先讓4人坐在4個位置上，有A種排法，再讓2個“元素”(一個是兩個作為一個整體的空位，另一個是單獨的空位)插入4個人形成的5個“空當”之間，有A種插法，所以所求的坐法數為A·A=480.

5.用隔板法：C=C=36.　 6. 600;　 7. 18　 6;　 8. 8424.

4.先把標號為1，2，3，4號化工產品分別放入①②③④4個倉庫內共有A₄⁴=24種放法；再把標號為5，6，7，8號化工產品對應按要求安全存放:

7放入①，8放入②，5放入③，6放入④;或者6放入①，7放入②，8放入③，5放入④兩種放法.綜上所述:共有A₄⁴×2=48種放法.故選B.

8. (2005浙江)從集合{O，P，Q，R，S}與{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}中各任取2個元素排成一排(字母和數字均不能重復)．每排中字母O，Q和數字0至多只能出現一個的不同排法種數是_________．(用數字作答)．

簡答:1-3.DBBB; 3.(1)前排一個，后排一個，2C·C=192.

(2)后排坐兩個(不相鄰)，2(10+9+8+…+1)=110.

(3)前排坐兩個，2·(6+5+…+1)+2=44個.

∴總共有192+110+44=346個.

解法二：考慮中間三個位置不坐，4號座位與8號座位不算相鄰.

∴總共有A+2+2=346個.答案：B

7. (2005春北京)從－1,0,1,2這四個數中選三個不同的數作為函數f(x)=ax²+bx+c的系數，可組成不同的二次函數共有__________個，其中不同的偶函數共有__________個．(用數字作答)

6.(2006陜西) 某校從8名教師中選派4名教師同時去4個邊遠地區支教(每地1人),其中甲和乙不同去,甲和丙只能同去或同不去,則不同的選派方案共有　　　 種

5.某校準備參加2008年全國高中數學聯賽，把10個名額分配給高三年級8個班，每班至少1人，不同的分配方案有_______種.

4. (2005江蘇) 四棱錐的8條棱代表8種不同的化工產品，有公共點的兩條棱代表的化工產品放在同一倉庫是危險的，沒有公共頂點的兩條棱代表的化工產品放在同一倉庫是安全的，現打算用編號為①、②、③、④的4個倉庫存放這8種化工產品，那么安全存放的不同方法種數為　　　　　　　 (　 )

A．96　　　　 B.48　　　　 C.24　　　　 D.0

3.有兩排座位，前排11個座位，后排12個座位，現安排2人就座，規定前排中間的3個座位不能坐，并且這2人不左右相鄰，那么不同排法的種數是　　　　　 (　 )

A.234　 　　　　 B.346　 　　　　 C.350　 　　　　　　　 D.363