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1.對排列、組合的應用題應遵循兩個原則:一是按元素的性質進行分類;二是按事件發生的過程進行分步.

試題詳情

[例1]設有編號為1,2,3,4,5的五個球和編號為1,2,3,4,5的五個盒子,現將這五個球放入5個盒子內

(1)只有一個盒子空著,共有多少種投放方法?

(2)沒有一個盒子空著,但球的編號與盒子編號不全相同,有多少種投放方法?

(3)每個盒子內投放一球,并且至少有兩個球的編號與盒子編號是相同的,有多少種投放方法?

解:(1) =1200(種)     (2)-1=119(種)          

(3)不滿足的情形:第一類,恰有一球相同的放法:×9=45

第二類,五個球的編號與盒子編號全不同的放法:

  先讓1號球放,1號球放到哪個盒中就讓哪個球放,……

有 4×(2+3×3)=44 (種) , ∴ 滿足條件的放法數為:-45-44=31(種)

  [例2]某運輸公司有3個車隊,每個車隊有10輛汽車, 現從這3個車隊中選派6輛汽車執行一項運輸任務,每個車隊至少1輛共有多少種選派方法?

  分析:這里所謂不同的選派方法,只是每個車隊派車數目的不同,是相同元素的分組問題--用“插板法”

  解:把6個派車指標排成一排,是一種排法,有5個空,插2個板,分成3組即可,共有   =10(種)

拓展引伸:方程x+y+z=7有多少組正整數解?(看成7個相同的元素分給3人)

  若求方程x+y+z=7有多少組自然數解呢?(讓3人每人拿出1個元素,如上法分10個元素)

[例3]某學習小組有8名同學,從男生中選2人,女生中選1人參加數學、物理、化學三種競賽,要求每科均有一人參加,共有180種不同的選法,那么該小組中共有男女同學多少人?

解:設有男生n人,女生8-n人,則有即(n-1)n(8-n)=60.

60的小于等于7的因數有1、2、3、4、5、6,因為n-1和n相鄰,

∴n=5,8-n=3,即男生5人,女生3人,或n=6,8-n=2,即男生6人,女生2人。

◆  提煉方法:1.引進待定的未知數,列方程求解;

2.“先取元素,后排順序”.一類重要題型和方法。

[例4]一棟7層的樓房備有電梯,現有A,B,C,D,E五人從一樓進電梯上樓,求

(1)有且僅有一人要上7樓,且甲不在2樓下電梯的所有可能情況種數.

(2)在(1)的條件下,一層只能下1個人,共有多少種情況?

解: (1)分A上不上7樓兩類:

 A上7樓,有54種; A不上7樓,有4×4×43種.

共有54+4×4×43=1649種.

(2)分2樓下人和不下人兩類,每類再分A上不上7樓兩種情況.

2樓下人,有種;  2樓不下人,有

∴共有 =504種情況.

提煉方法:題(1)是計數原理,題(2)是排列組合,應注意區分.

[研討.欣賞](1)一條長椅上有9個座位,3個人坐,若相鄰2人之間至少有2個空椅子,共有幾種不同的坐法?

(2)一條長椅上有7個座位,4個人坐,要求3個空位中,恰有2個空位相鄰,共有多少種不同的坐法?

解:(1)先將3人(用×表示)與4張空椅子(用□表示)排列如圖(×□□×□□×),這時共占據了7張椅子,還有2張空椅子,一是分開插入,如圖中箭頭所示(↓×□↓□×□↓□×↓),從4個空當中選2個插入,有C種插法;二是2張同時插入,有C種插法,再考慮3人可交換有A種方法.

所以,共有A(C+C)=60(種).

下面再看另一種構造方法:

先將3人與2張空椅子排成一排,從5個位置中選出3個位置排人,另2個位置排空椅子,有AC種排法,再將4張空椅子中的每兩張插入每兩人之間,只有1種插法,所以所求的坐法數為A·C=60.

(2)可先讓4人坐在4個位置上,有A種排法,再讓2個“元素”(一個是兩個作為一個整體的空位,另一個是單獨的空位)插入4個人形成的5個“空當”之間,有A種插法,所以所求的坐法數為A·A=480.

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5.用隔板法:C=C=36.  6. 600;  7. 18  6;  8. 8424.

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4.先把標號為1,2,3,4號化工產品分別放入①②③④4個倉庫內共有A44=24種放法;再把標號為5,6,7,8號化工產品對應按要求安全存放:

7放入①,8放入②,5放入③,6放入④;或者6放入①,7放入②,8放入③,5放入④兩種放法.綜上所述:共有A44×2=48種放法.故選B.

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8. (2005浙江)從集合{OPQRS}與{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}中各任取2個元素排成一排(字母和數字均不能重復).每排中字母OQ和數字0至多只能出現一個的不同排法種數是_________.(用數字作答).

簡答:1-3.DBBB; 3.(1)前排一個,后排一個,2C·C=192.

(2)后排坐兩個(不相鄰),2(10+9+8+…+1)=110.

(3)前排坐兩個,2·(6+5+…+1)+2=44個.

∴總共有192+110+44=346個.

解法二:考慮中間三個位置不坐,4號座位與8號座位不算相鄰.

∴總共有A+2+2=346個.答案:B

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7. (2005春北京)從-1,0,1,2這四個數中選三個不同的數作為函數f(x)=ax2+bx+c的系數,可組成不同的二次函數共有__________個,其中不同的偶函數共有__________個.(用數字作答)

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6.(2006陜西) 某校從8名教師中選派4名教師同時去4個邊遠地區支教(每地1人),其中甲和乙不同去,甲和丙只能同去或同不去,則不同的選派方案共有   

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5.某校準備參加2008年全國高中數學聯賽,把10個名額分配給高三年級8個班,每班至少1人,不同的分配方案有_______種.

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4. (2005江蘇) 四棱錐的8條棱代表8種不同的化工產品,有公共點的兩條棱代表的化工產品放在同一倉庫是危險的,沒有公共頂點的兩條棱代表的化工產品放在同一倉庫是安全的,現打算用編號為①、②、③、④的4個倉庫存放這8種化工產品,那么安全存放的不同方法種數為        (  )

A.96     B.48     C.24     D.0

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3.有兩排座位,前排11個座位,后排12個座位,現安排2人就座,規定前排中間的3個座位不能坐,并且這2人不左右相鄰,那么不同排法的種數是      (  )

A.234       B.346       C.350          D.363

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