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　 例3. 甲、乙兩人在環形跑道上練習跑步，已知環形跑道一圈長400米，乙每秒鐘跑6米，甲的速度是乙的倍。現在甲、乙兩人在跑道上相距8米處同時出發，問經過多少秒鐘后兩人首次相遇？

　　 分析：雖然環行問題可轉化為追及問題或相遇問題去解決，但本題既不明確甲、乙兩人在環形跑道上是同向還是反向跑步，更不知同向跑步時誰在前誰在后，或反向跑步時兩人之間的距離是哪一部分，所以解題時應分類討論，逐一求解。

　　 解：設經過x秒甲、乙兩人首次相遇。

　　 (1)若兩人同向跑步，且甲在乙前面8米時，依題意，得方程：

　　 解得：

　 　(2)若兩人同向跑步，且乙在甲前面8米時，依題意，得方程：

　　 解得：

　　 (3)若兩人反向跑步，且相距8米時，依題意，得方程：

　　 解得：

　　 (4)若兩人反向跑步，且相距米時，依題意，得方程：

　　 解得：

　　 答：當甲、乙兩人在環形跑道上同向跑步時，經過196秒或4秒首次相遇，反向跑步時，經過或28秒首次相遇。

　 例2. 甲、乙兩人分別從相距2.5千米的兩地沿同一條公路同時同向出發進行騎自行車訓練。已知甲、乙兩人的速度分別為12.5千米/時和15千米/時，問經過幾小時后兩人相距3千米？

　　 分析：本題屬行程問題中的追及問題，但不明確甲、乙兩人誰在前，誰在后，因而要分兩種情況求解。

　　 解：設經過x小時后兩個相距3千米

　　 (1)當甲在乙前面時，依題意，可得方程

　　 解得：

　　 (2)當乙在甲前面時，依題意，可得方程

　　 解得：

　　 答：經過2.2小時或0.2小時后兩人相距3千米。

　 例1. A、B兩站相距900千米，一列慢車從A站開出，速度為每小時55千米。同一時刻一列快車從B站開出，速度為每小時80千米，兩車相向而行，經過多少小時兩車相距45千米？

　　 分析：題中求“經過多少小時兩車相距45千米？”但沒有指出是相遇前兩車相距45千米，還是相遇后兩車相距45千米，因而情況不明，需分類求解。

　　 解：設經過x小時兩車相距45千米

　　 (1)當相遇前兩車相距45千米時，依題意，得：

　　 解得：

　　 (2)當相遇后兩車又相距45千米時，依題意，得：

　　 解得：

　　 答：經過小時或7小時兩車相距45千米。

6. 已知：中，AB=AC，D是BC的中點，DE//AC，DF//AB，DE、DF分別交AB、AC于點E、F，求證：四邊形AEDF是菱形。

5. 在平行四邊形ABCD中，，M、N分別是AD、BC的中點。求證四邊形ANCM是菱形。

4. 求證：過矩形各頂點平行于對角線的垂線圍成的四邊形是菱形。

3. 求證：順次連結矩形四邊中點所構成的四邊形是菱形。

2. 求證：順次連結等腰梯形上、下底的中點和兩對角線的中點所構成的四邊形是菱形。

1. 求證：順次連結等腰梯形各邊中點所構成的四邊形是菱形。

4. 對角線互相垂直平分的四邊形是菱形

　　 例4　 已知：如圖4，中，BAC的平分線交BC于點D，E是AB上一點，且AE=AC，EF//BC交AD于點F。

　 　求證：四邊形CDEF是菱形。

　　 證明：連結CE交AD于點O

　　 因為AC=AE

　　 所以為等腰三角形

　　 因為AO平分CAE

　　 所以，且OC=OE

　　 因為EF//CD，

　　 所以1=2

　　 所以OF=OD

　　 于是CE垂直平分DF

　　 所以四邊形CDEF是菱形

　　 總結以上，得到下表

　　 練習：