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1、從受力和運動兩個方面分析簡諧運動的特點及簡諧運動中能量轉化。

2．　　 人造地球衛星

⑴宇宙速度

第一宇宙速度

，是地球衛星的最小發射速度，也是地球衛星在近地軌道上運行時的速度．

^由得　．

例7、1990年3月，紫金山天文臺將1965年9月20日發現的第2752號小行星命名為吳健雄星，其直徑為32 km，如該小行星的密度和地球相同，則其第一宇宙速度為

　　　 m／s，已知地球半徑R=6400km，地球的第一宇宙速度為8 km／s．(20m／s)

第二宇宙速度的計算

　　 如果人造衛星進入地面附近的軌道速度等于或大于1l.2km／s，就會脫離地球的引力，這個速度稱為第二宇宙速度．

　　 為了用初等數學方法計算第二宇宙速度，設想從地球表面至無窮遠處的距離分成無數小段ab、bc、…，等分點對應的半徑為r₁、r₂…，如下圖所示．

由于每一小段ab、bc、cd…極小，這一小段上的引力可以認為不變．因此把衛星從地表a送到b時，外力克服引力做功

同理，衛星從地表移到無窮遠過程中，各小段上外力做的功分別為

…

把衛星送至無窮遠處所做的總功　　

為了掙脫地球的引力衛星必須具有的動能為

所以

　 　第三宇宙速度的推算

脫離太陽引力的速度稱為第三宇宙速度．因為地球繞太陽運行的速度為v_地＝30km/s，根據推導第二宇宙速度得到的脫離引力束縛的速度等于在引力作用下環繞速度的倍，即

因為人造天體是在地球上，所以只要沿地球運動軌道的方向增加△v＝12.4km／s即可，即需增加動能．所以人造天體需具有的總能量為

得第三宇宙速度

1．　　 萬有引力定律提供天體做圓周運動的向心力

⑴人造地球衛星的繞行速度、角速度、周期與半徑的關系

①由得　　　r越大，v越小

②由得　　　r越大，ω越小

③由得　　r越大，T越大

例4、土星外層上有一個環。為了判斷它是土星的一部分還是土星的衛星群，可以測量環中各層的線速度a與該l層到土星中心的距離R之間的關系來判斷：　 ( AD )

A．若v∝R，則該層是土星的一部分；　　B．若v²∝R，則該層是土星的衛星群

C．若v∝1／R，則該層是土星的一部分 　 D．若v²∝1／R，則該層是土星的衛星群

⑵求天體質量、密度

由　 　即可求得

注意天體半徑與衛星軌跡半徑區別

⑶人造地球衛星的離心向心問題

例5、在地球大氣層外有很多太空垃圾繞地球做勻速圓周運動，每到太陽活動期，由于受太陽的影響，地球大氣層的厚度開始增加，從而使得部分垃圾進入大氣層，開始做靠近地球的向心運動，產生這一結果的原因是　　 ( C　 )

A．由于太空垃圾受到地球引力減小而導致的向心運動

B．由于太空垃圾受到地球引力增大而導致的向心運動

C．由于太空垃圾受到空氣阻力而導致的向心運動

D．地球引力提供了太空垃圾做圓周運動所需的向心力，故產生向心運動的結果與空氣阻力無關

例6、宇宙飛船要與軌道空間站對接，飛船為了追上軌道空間站　　 ( A )

　 A．只能從較低軌道上加速

　 B．只能從較高軌道上加速

　 C．只能從同空間站同一高度軌道上加速

　 D．無論在什么軌道上，只要加速都行

5．物體在地面上所受的引力與重力的區別和聯系

地球對物體的引力是物體具有重力的根本原因．但重力又不完全等于引力．這是因為地球在不停地自轉，地球上的一切物體都隨著地球自轉而繞地軸做勻速圓周運動，這就需要向心力．這個向心力的方向是垂直指向地軸的，它的大小是，式中的r是物體與地軸的距離，ω是地球自轉的角速度．這個向心力來自哪里?只能來自地球對物體的引力F，它是引力F的一個分力如右圖，引力F的另一個分力才是物體的重力mg．

在不同緯度的地方，物體做勻速圓周運動的角速度ω相同，而圓周的半徑r不同，這個半徑在赤道處最大，在兩極最小(等于零)．緯度為α處的物體隨地球自轉所需的向心力 (R為地球半徑)，由公式可見，隨著緯度升高，向心力將減小，在兩極處Rcosα＝0，f＝0．作為引力的另一個分量，即重力則隨緯度升高而增大．在赤道上，物體的重力等于引力與向心力之差．即．在兩極，引力就是重力．但由于地球的角速度很小，僅為10^－5rad／s數量級，所以mg與F的差別并不很大．

在不考慮地球自轉的條件下，地球表面物體的重力這是一個很有用的結論．

從圖中還可以看出重力mg一般并不指向地心，只有在南北兩極和赤道上重力mg才能向地心．

同樣，根據萬有引力定律知道，在同一緯度，物體的重力和重力加速度g的數值，還隨著物體離地面高度的增加而減小．

若不考慮地球自轉，地球表面處有，可以得出地球表面處的重力加速度．

在距地表高度為h的高空處，萬有引力引起的重力加速度為g＇，由牛頓第二定律可得：

　即

如果在h＝R處，則g＇＝g／4．在月球軌道處，由于r＝60R，所以重力加速度g＇＝ g／3600．

重力加速度隨高度增加而減小這一結論對其他星球也適用．

例3、某行星自轉一周所需時間為地球上的6h，在這行星上用彈簧秤測某物體的重量，在該行量赤道上稱得物重是兩極時測得讀數的90%，已知萬有引力恒量G＝6.67×10^－11N·m²／kg²，若該行星能看做球體，則它的平均密度為多少?

[解析]在兩極，由萬有引力定律得　　　 ①

在赤道　 ②

依題意mg＇=O.9mg　　 ③

由式①②③和球體積公式聯立解得

4．注意領會卡文迪許實驗設計的巧妙方法．

由萬有引力定律表達式可知，，要測定引力常量G，只需測出兩物體m₁、m₂間距離r及它們間萬有引力F即可．由于一般物體間的萬有引力F非常小，很難用實驗的方法顯示并測量出來，所以在萬有引力定律發現后的百余年間，一直沒有測出引力常量的準確數值．

卡文迪許巧妙的扭秤實驗通過多次“放大”的辦法解決了這一問題．圖是卡文迪許實驗裝置的俯視圖．

首先，圖中固定兩個小球m的r形架，可使m、m’之間微小的萬有引力產生較大的力矩，使金屬絲產生一定角度的偏轉臼，這是一次“放大”效應．

其次，為了使金屬絲的微小形變加以“放大”，卡文迪許用從1發出的光線射到平面鏡M上，在平面鏡偏轉θ角時，反射光線偏轉2θ角，可以得出光點在刻度尺上移動的弧長s＝2θR，增大小平面鏡M到刻度尺的距離R，光點在刻度尺上移動的弧長S就相應增大，這又是一次“放大”效應．由于多次巧妙“放大”，才使微小的萬有引力顯示并測量出來．除“放大法”外，物理上觀察實驗效果的方法，還包括“轉換法”、“對比法”等．

深刻認識卡文迪許實驗的意義

(1)卡文迪許通過改變質量和距離，證實了萬有引力的存在及萬有引力定律的正確性．

(2)第一次測出了引力常量，使萬有定律能進行定量計算，顯示出真正的實用價值．

(3)標志著力學實驗精密程度的提高，開創了測量弱力的新時代．

(4)表明：任何規律的發現總是經過理論上的推理和實驗上的反復驗證才能完成．

3．萬有引力定律的適用條件

例1、如下圖所示，在半徑R＝20cm、質量M＝168kg的均勻銅球中，挖去一球形空穴，空穴的半徑為要，并且跟銅球相切，在銅球外有一質量m＝1kg、體積可忽略不計的小球，這個小球位于連接銅球球心跟空穴中心的直線上，并且在空穴一邊，兩球心相距是d＝2m，試求它們之間的相互吸引力．

解： 完整的銅球跟小球m之間的相互吸引力為

這個力F是銅球M的所有質點和小球m的所有質點之間引力的總合力，它應該等于被挖掉球穴后的剩余部分與半徑為婁的銅球對小球m的吸引力　 　　F=F₁+F₂．

式中F₁是挖掉球穴后的剩余部分對m的吸引力，F₂是半徑為R／2的小銅球對m的吸引力。因為，

所以挖掉球穴后的剩余部分對小球的引力為F₁＝F－F₂＝2.41×10^－9N

例2、深入地球內部時物體所受的引力

假設地球為正球體，各處密度均勻．計算它對球外物體的引力，可把整個質量集中于球心．如果物體深入地球內部，如何計算它所受的引力?

如右圖所示，設一個質量為m的物體(可視為質點)在地層內離地心為r的A處．為了計算地球對它的引力，把地球分成許多薄層．設過A點的對頂錐面上兩小塊體積分別為△V₁、△V₂．當△V₁和△V₂很小時，可以近似看成圓臺．

已知圓臺的體積公式

式中R₁和R₂分別是上、下兩底面的半徑．

當圓臺很小很薄時，且H＜＜　a，H＜＜　b時，R₁≈R₂≈R．那么V＝πHR²

根據萬有引力定律

所以，即兩小塊體積的物體對A處質點的引力大小相等，且方向相反，它們的合力為零．

當把地球分成許多薄層后，可以看到，位于A點以外的這一圈地層(右圖中用斜線表示)對物體的引力互相平衡，相當于對A處物體不產生引力，對A處物體的引力完全由半徑為r的這部分球體產生．引力大小為

即與離地心的距離成正比．

當物體位于球心時，r=0，則F_r＝O．它完全不受地球的引力．

所以，當一個質量為m的物體從球心(r＝0)逐漸移到球外時，它所受地球的引力F隨r的變化關系如右圖所示．即先隨r的增大正比例地增大；后隨r的增大，按平方反比規律減小；當r＝R₀(地球半徑)時，引力．

2．萬有引力定律的檢驗

牛頓通過對月球運動的驗證，得出萬有引力定律，開始時還只能是一個假設，在其后的一百多年問，由于不斷被實踐所證實，才真正成為一種理論．其中，最有效的實驗驗證有以下四方面．

⑴．地球形狀的預測．牛頓根據引力理論計算后斷定，地球的赤道部分應該隆起，形狀像個橘子．而笛卡爾根據旋渦假設作出的預言，地球應該是兩極伸長的扁球體，像個檸檬．

1735年，法國科學院派出兩個測量隊分赴亦道地區的秘魯(緯度φ＝20°)和高緯度處的拉普蘭德(φ＝66°)，分別測得兩地1°緯度之長為：赤道處是110600m，兩極處是111900m．后來，又測得法國附近緯度1°的長度和地球的扁率．大地測量基本證實了牛頓的預言，從此，這場“橘子與檸檬”之爭才得以平息．

⑵．哈雷彗星的預報．英國天文學家哈雷通過對彗星軌道的對照后認為，1682年出現的大彗星與1607年、1531年出現的大彗星實際上是同一顆彗星，并根據萬有引力算出這個彗星的軌道，其周期是76年．哈雷預言，1758年這顆彗星將再次光臨地球．于是，預報彗星的回歸又一次作為對牛頓引力理論的嚴峻考驗．

后來，彗星按時回歸，成為當時破天荒的奇觀，牛頓理論又一次被得到證實．

⑶．海王星的發現．

⑷．萬有引力常量的測定．

由此可見，一個新的學說決不是一蹴而就的，也只有通過反復的驗證，才能被人們所普遍接受．

1．萬有引力定律發現的思路、方法

　　 開普勒解決了行星繞太陽在橢圓軌道上運行的規律，但沒能揭示出行星按此規律運動的原因．英國物理學家牛頓(公元1642-1727)對該問題進行了艱苦的探索，取得了重大突破．

　　 首先，牛頓論證了行星的運行必定受到一種指向太陽的引力．

　　 其次，牛頓進一步論證了行星沿橢圓軌道運行時受到太陽的引力，與它們的距離的二次方成反比．為了在中學階段較簡便地說明推理過程，課本中是將橢圓軌道簡化為圓形軌道論證的．

　　 第三，牛頓從物體間作用的相互性出發，大膽假設并實驗驗證了行星受太陽的引力亦跟太陽的質量成正比．因此得出：太陽對行星的行力跟兩者質量之積成正比．

最后，牛頓做了著名的“月一地”檢驗，將引力合理推廣到宇宙中任何兩物體，使萬有引力規律賦予普遍性．

例1 　一電子在如圖3-1所示按正弦規律變化的外力作用下由靜止釋放，則物體將：

A、作往復性運動

B、t₁時刻動能最大

C、一直朝某一方向運動

D、t₁時刻加速度為負的最大。

評析　 電子在如圖所示的外力作用下運動，根據牛頓第二定律知，先向正方向作加速度增大的加速運動，歷時t₁；再向正方向作加速度減小的加速運動，歷時(t₂~t₁)；(0~t₂)整段時間的速度一直在增大。緊接著在(t₂~t₃)的時間內，電子將向正方向作加速度增大的減速運動，歷時(t₃~t₂)；(t₃~t₄)的時間內，電子向正方向作加速度減小的減速運動，根據對稱性可知，t₄時刻的速度變為0(也可以按動量定理得，0~t₄時間內合外力的沖量為0，沖量即圖線和坐標軸圍成的面積)。其中(0~t₂)時間內加速度為正；(t₂~t₄)時間內加速度為負。正確答案為：C。

注意　 公式中F、間的關系是瞬時對應關系，一段時間內可以是變力；而公式或只適用于勻變速運動，但在變加速運動中，也可以用之定性地討論變加速運動速度及位移隨時間的變化趨勢。

上題中，如果F-t圖是余弦曲線如圖3-2所示，則情況又如何？

如果F-t圖是余弦曲線，則答案為A、B。

例2　 如圖3-3所示，兩個完全相同的小球和，分別在光滑的水平面和淺凹形光滑曲面上滾過相同的水平距離，且始終不離開接觸面。球是由水平面運動到淺凹形光滑曲線面，再運動到水平面的，所用的時間分別為t₁和t₂，試比較t₁、t₂的大小關系：

A、t₁>t₂　　 B、t₁=t₂ C、t₁<t₂　　　 D、無法判定

評析　 小球滾下去的時候受到凹槽對它的支持力在水平向分力使之在水平方向作加速運動；而后滾上去的時候凹槽對它的支持力在水平方向分力使之在水平方向作減速運動，根據機械能守恒定律知，最后滾到水平面上時速度大小與原來相等。故小球在整個過程中水平方向平均速度大，水平距離一樣，則所用時間短。答案：A。

例3　 如圖3-4所示，輕彈簧的一端固定在地面上，另一端與木塊B相連。木塊A放在B上。兩木塊質量均為，豎直向下的力F作用在A上，A、B均靜止，問：

(1)將力F瞬間撤去后，A、B共同運動到最高點，此時B對A的彈力多大？

(2)要使A、B不會分開、力F應滿足什么條件？

評析　 (1)如果撤去外力后，A、B在整個運動過程中互不分離，則系統在豎直向上作簡揩運動，最低點和最高點關于平衡位置對稱，如圖3-5所示，設彈簧自然長度為，A、B放在彈簧上面不外加壓力F且系統平衡時，如果彈簧壓至O點，壓縮量為b，則：。外加壓力F后等系統又處于平衡時，設彈簧又壓縮了A，則：，即：。

當撤去外力F后，系統將以O點的中心，以A為振幅在豎直平面內上下作簡諧運動。在最低點：，方向向上，利用牛頓第二定律知，該瞬間加速度：，方向向上；按對稱性知系統在最高點時：，方向向下。

此時以B為研究對象進行受力分析，如圖3-6所示，按牛頓第二定律得：

(2)A、B未分離時，加速度是一樣的，且A、B間有彈力，同時最高點最容易分離。分離的臨界條件是：(或者：在最高點兩者恰好分離時對A有：，表明在最高點彈簧處于自然長度時將要開始分離，即只要：時A、B將分離)。所以要使A、B不分離，必須：。

例4　 如圖3-7所示，在空間存在水平方向的勻強磁場(圖中未畫出)和方向豎直向上的勻強電場(圖中已畫出)，電場強度為E，磁感強度為B。在某點由靜止釋放一個帶電液滴，它運動到最低點恰與一個原來處于靜止狀態的帶電液滴b相撞，撞后兩液滴合為一體，并沿水平方向做勻速直線運動，如圖所示，已知的質量為b的2倍，的帶電量是b的4倍(設、b間靜電力可忽略)。

(1)試判斷、b液滴分別帶何種電荷？

(2)求當、b液滴相撞合為一體后，沿水平方向做勻速直線的速度及磁場的方向；

(3)求兩液滴初始位置的高度差。

評析　 (1)設b質量為，則帶電量為4q，因為如果帶正電，要向下偏轉，則必須：；而對b原來必須受力平衡，則：。前后相矛盾，表明帶負電，b帶正電。

(2)設為與b相撞前的速度，下落的過程中重力、電場力做正功，由動能定理有：。由于b原來處于靜止狀態：。

由以上兩式可得：

、b相撞的瞬間動量守恒：。得

而電荷守恒，故：

、b碰撞后粘在一起做勻速直線運動，按平衡條件得：，則：。所以：

例5 　如圖3-8所示，一單匝矩形線圈邊長分別為、b，電阻為R，質量為m，從距離有界磁場邊界高處由靜止釋放，試討論并定性作出線圈進入磁場過程中感應電流隨線圈下落高度的可能變化規律。

評析　 線圈下落高度時速度為：

下邊剛進入磁場時切割磁感線產生的感應電動勢：。產生的感應電流：I=，受到的安培力：

討論　 (1)如果，即：，則：線圈將勻速進入磁場，此時：(變化規律如圖3-9所示)

(2)如果，表明較小，則：線圈加速進入磁場，但隨著有三種可能：

①線圈全部進入磁場時還未達到穩定電流I₀(變化規律如圖3-10所示)

②線圈剛全部進入磁場時達到穩定電流I₀(變化規律如圖3-11所示)

③線圈未全部進磁場時已達到穩定電流I₀(變化規律如圖3-12所示)

(3)如果，則：線圈減速進入磁場，但隨著，故線圈將作減小的減速運動。

有三種可能：

①線圈全部進入磁場時還未達到穩定電流I₀(變化規律如圖3-13所示)

②線圈剛全部進入磁場時達到穩定電流I₀(變化規律如圖3-14所示)

③線圈未全部進入磁場時已達到穩定電流I₀(變化規律如圖3-15所示)

例6　 光從液面到空氣時的臨界角C為45°，如圖3-16所示，液面上有一點光源S發出一束光垂直入射到水平放置于液體中且到液面的距離為d的平面鏡M上，當平面鏡M繞垂直過中心O的軸以角速度做逆時針勻速轉動時，觀察者發現水面上有一光斑掠過，則觀察者們觀察到的光斑的光斑在水面上掠過的最大速度為多少？

評析　 本題涉及平面鏡的反射及全反射現象，需綜合運用反射定律、速度的合成與分解、線速度與角速度的關系等知識求解，確定光斑掠移速度的極值點及其與平面鏡轉動角速度間的關系，是求解本例的關鍵。

設平面鏡轉過角時，光線反射到水面上的P點，光斑速度為，如圖3-17可知：，而：

故：，，而光從液體到空氣的臨界角為C，所以當時達到最大值，即：

例7　 如圖3-18所示為一單擺的共振曲線，則該單擺的擺長約為多少？共振時單擺的振幅多大？共振時擺球簡諧運動的最大加速度和最大速度大小各為多少？(取10m/s²)

評析　 這是一道根據共振曲線所給信息和單擺振動規律進行推理和綜合分析的題目，本題涉及到的知識點有受迫振動、共振的概念和規律、單擺擺球做簡諧運動及固有周期、頻率、能量的概念和規律等。由題意知，當單擺共振時頻率，即：，振幅A=8cm=0.08m，由得：

如圖3-19所示，擺能達到的最大偏角的情況下，共振時：，(其中以弧度為單位，當很小時，，弦A近似為弧長。)所以： 。根據單擺運動過程中機械能守恒可得：。其中：

例8　 已知物體從地球上的逃逸速度(第二宇宙速度)，其中G、M_E、R_E分別是引力常量、地球的質量和半徑。已知G=6.7×10^-11N·m²/kg²，c=3.0×10⁸m/s，求下列問題：(1)逃逸速度大于真空中光速的天體叫做黑洞，設某黑洞的質量等于太陽的質量M=2.0×10³⁰kg，求它的可能最大半徑(這個半徑叫Schwarhid半徑)；(2)在目前天文觀測范圍內，物質的平均密度為10^-27kg/m³，如果認為我們的宇宙是這樣一個均勻大球體，其密度使得它的逃逸速度大于光在真空中的速度c，因此任何物體都不能脫離宇宙，問宇宙的半徑至少多大？(最后結果保留兩位有效數字)

解析　 (1)由題目所提供的信息可知，任何天體均存在其所對應的逃逸速度，其中M、R為天體的質量和半徑，對于黑洞模型來說，其逃逸速度大于真空中的光速，即，所以：

即質量為kg的黑洞的最大半徑為(m)

(2)把宇宙視為一普通天體，則其質量為，其中R為宇宙的半徑，為宇宙的密度，則宇宙所對應的逃逸速度為，由于宇宙密度使得其逃逸速度大于光速c。即：。則由以上三式可得：，合4.2×10¹⁰光年。即宇宙的半徑至少為4.2×10¹⁰光年。

所謂變加速運動，即加速度(大小或方向或兩者同時)變化的運動，其軌跡可以是直線，也可以是曲線；從牛頓第二定律的角度來分析，即物體所受的合外力是變化的。

本章涉及的中學物理中幾種典型的變加速運動如：簡諧運動，圓周運動，帶電粒子在電場、磁場和重力場等的復合場中的運動，原子核式結構模型中電子繞原子核的圓周運動等。故涉及到力學、電磁學及原子物理中的圓周運動問題。