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28. 解：(1)∵D(－8，0)，∴B點的橫坐標為－8，代入中，得y＝－2.

∴B點坐標為(－8，－2).而A、B兩點關于原點對稱，∴A(8，2)

從而k＝8×2＝16

(2)∵N(0，－n)，B是CD的中點，A，B，M，E四點均在雙曲線上,

∴mn＝k，B(－2m，－)，C(－2m，－n)，E(－m，－n)

＝2mn＝2k，＝mn＝k，＝mn＝k.

∴＝――＝k.∴k＝4.

由直線及雙曲線，得A(4，1)，B(－4，－1)

∴C(－4，－2)，M(2，2)

設直線CM的解析式是，由C、M兩點在這條直線上，得

，解得a＝b＝

∴直線CM的解析式是y＝x+.

(3)如圖，分別作AA₁⊥x軸，MM₁⊥x軸，垂足分別為A₁，M₁

設A點的橫坐標為a，則B點的橫坐標為－a.于是，

同理

∴p－q＝－＝－2

27. 解：(1)由題意：BP＝tcm，AQ＝2tcm，則CQ＝(4－2t)cm，

∵∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，∴AB＝5cm

∴AP＝(5－t)cm，

∵PQ∥BC，∴△APQ∽△ABC，

∴AP∶AB＝AQ∶AC，即(5－t)∶5＝2t∶4，解得：t＝

∴當t為秒時，PQ∥BC

………………2分

(2)過點Q作QD⊥AB于點D，則易證△AQD∽△ABC

∴AQ∶QD＝AB∶BC

∴2t∶DQ＝5∶3，∴DQ＝

∴△APQ的面積：×AP×QD＝(5－t)×

∴y與t之間的函數關系式為：y＝

………………5分

(3)由題意：

　　 當面積被平分時有：＝××3×4，解得：t＝

　　 當周長被平分時：(5－t)+2t＝t+(4－2t)+3，解得：t＝1

∴不存在這樣t的值

………………8分

(4)過點P作PE⊥BC于E

　 易證：△PAE∽△ABC，當PE＝QC時，△PQC為等腰三角形，此時△QCP′為菱形

∵△PAE∽△ABC，∴PE∶PB＝AC∶AB，∴PE∶t＝4∶5，解得：PE＝

∵QC＝4－2t，∴2×＝4－2t,解得：t＝

∴當t＝時，四邊形PQP′C為菱形

此時，PE＝，BE＝，∴CE＝

………………10分

在Rt△CPE中，根據勾股定理可知：PC＝＝＝

∴此菱形的邊長為cm　　 ………………12分

26. 解：方案一：由題意可得：，

點到甲村的最短距離為．······································································· (1分)

點到乙村的最短距離為．

將供水站建在點處時，管道沿鐵路建設的長度之和最小．

即最小值為．········································································ (3分)

方案二：如圖①，作點關于射線的對稱點，則，連接交于點，則．

，．·········································································· (4分)

在中，

，，

，兩點重合．即過點．············································· (6分)

在線段上任取一點，連接，則．

，

把供水站建在乙村的點處，管道沿線路鋪設的長度之和最小．

即最小值為．··········· (7分)

方案三：作點關于射線的對稱點，連接，則．

作于點，交于點，交于點，

為點到的最短距離，即．

在中，，，

．．

，兩點重合，即過點．

在中，，．············································· (10分)

在線段上任取一點，過作于點，連接．

顯然．

把供水站建在甲村的處，管道沿線路鋪設的長度之和最�。�

即最小值為．································································ (11分)

綜上，，供水站建在處，所需鋪設的管道長度最短．········ (12分)

25. 解：(1)取中點，聯結，

為的中點，，．································· (1分)

又，．··········································································· (1分)

，得；······································ (2分)(1分)

(2)由已知得．··································································· (1分)

以線段為直徑的圓與以線段為直徑的圓外切，

，即．·························· (2分)

解得，即線段的長為；······································································· (1分)

(3)由已知，以為頂點的三角形與相似，

又易證得．··············································································· (1分)

由此可知，另一對對應角相等有兩種情況：①；②．

①當時，，．．

，易得．得；······················································· (2分)

②當時，，．

．又，．

，即，得．

解得，(舍去)．即線段的長為2．········································ (2分)

綜上所述，所求線段的長為8或2．

24. 解：(1)∵點在上，

∴，

∴，

∴.

(2)連結， 由題意易知，

∴.

(3)正方形AEFG在繞A點旋轉的過程中，F點的軌跡是以點A為圓心，AF為半徑的圓.

第一種情況：當b>2a時，存在最大值及最小值；

因為的邊，故當F點到BD的距離取得最大、最小值時，取得最大、最小值.

如圖②所示時，

的最大值=

的最小值=

第二種情況：當b=2a時，存在最大值，不存在最小值；

的最大值=.(如果答案為4a²或b²也可)

23. 解(Ⅰ)當，時，拋物線為，

方程的兩個根為，．

∴該拋物線與軸公共點的坐標是和．　 ················································ 2分

(Ⅱ)當時，拋物線為，且與軸有公共點．

對于方程，判別式≥0，有≤． ········································ 3分

①當時，由方程，解得．

此時拋物線為與軸只有一個公共點．································· 4分

②當時，

時，，

時，．

由已知時，該拋物線與軸有且只有一個公共點，考慮其對稱軸為，

應有　 即

解得．

綜上，或．　　 ················································································ 6分

(Ⅲ)對于二次函數，

由已知時，；時，，

又，∴．

于是．而，∴，即．

∴．　 ············································································································ 　7分

∵關于的一元二次方程的判別式

，　 　

∴拋物線與軸有兩個公共點，頂點在軸下方．····························· 8分

又該拋物線的對稱軸，

由，，，

得，

∴．

又由已知時，；時，，觀察圖象，

可知在范圍內，該拋物線與軸有兩個公共點． ············································ 10分

22. 解：( 1)由已知得：解得

c=3,b=2

∴拋物線的線的解析式為

(2)由頂點坐標公式得頂點坐標為(1，4)

所以對稱軸為x=1,A,E關于x=1對稱，所以E(3,0)

設對稱軸與x軸的交點為F

所以四邊形ABDE的面積=

=

=

=9

(3)相似

如圖，BD=

BE=

DE=

所以, 即： ,所以是直角三角形

所以,且,

所以.

21.解：

(1)m=-5,n=-3

　 (2)y=x+2

(3)是定值.

因為點D為∠ACB的平分線，所以可設點D到邊AC,BC的距離均為h，

設△ABC AB邊上的高為H,

則利用面積法可得：

(CM+CN)h=MN﹒H

又 H=

化簡可得　 (CM+CN)﹒

故 　　　　

20. 解：(1)如圖，過點B作BD⊥OA于點D.

　　　 在Rt△ABD中，

　　　 ∵∣AB∣=,sin∠OAB=,

　　　 ∴∣BD∣=∣AB∣·sin∠OAB

　　　　　　　 =×=3.

又由勾股定理，得

∴∣OD∣=∣OA∣-∣AD∣=10-6=4.

∵點B在第一象限，∴點B的坐標為(4，3).　　　　　　　　　　　　 ……3分

設經過O(0,0)、C(4，-3)、A(10,0)三點的拋物線的函數表達式為

　　 y=ax²+bx(a≠0).

由

∴經過O、C、A三點的拋物線的函數表達式為　　　　　　 ……2分

(2)假設在(1)中的拋物線上存在點P，使以P、O、C、A為頂點的四邊形為梯形

　 ①∵點C(4，-3)不是拋物線的頂點，

∴過點C做直線OA的平行線與拋物線交于點P₁ 　.

則直線CP₁的函數表達式為y=-3.

對于，令y=-3x=4或x=6.

∴

而點C(4，-3)，∴P₁(6,-3).

在四邊形P₁AOC中，CP₁∥OA,顯然∣CP₁∣≠∣OA∣.

∴點P₁(6，-3)是符合要求的點.　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……1分

②若AP₂∥CO.設直線CO的函數表達式為

　 將點C(4，-3)代入，得

∴直線CO的函數表達式為

　 于是可設直線AP₂的函數表達式為

將點A(10，0)代入，得

∴直線AP₂的函數表達式為

由，即(x-10)(x+6)=0.

∴

而點A(10，0)，∴P₂(-6，12).

過點P₂作P₂E⊥x軸于點E，則∣P₂E∣=12.

在Rt△AP₂E中，由勾股定理，得

而∣CO∣=∣OB∣=5.

∴在四邊形P₂OCA中，AP₂∥CO,但∣AP₂∣≠∣CO∣.

∴點P₂(-6，12)是符合要求的點.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……1分

③若OP₃∥CA,設直線CA的函數表達式為y=k₂x+b₂

　 將點A(10,0)、C(4,-3)代入，得

∴直線CA的函數表達式為

∴直線OP₃的函數表達式為

由即x(x-14)=0.

∴

而點O(0,0),∴P₃(14，7).

過點P₃作P₃E⊥x軸于點E，則∣P₃E∣=7.

在Rt△OP₃E中，由勾股定理，得

而∣CA∣=∣AB∣=.

∴在四邊形P₃OCA中，OP₃∥CA,但∣OP₃∣≠∣CA∣.

∴點P₃(14，7)是符合要求的點.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……1分

綜上可知，在(1)中的拋物線上存在點P₁(6,-3)、P₂(-6,12)、P₃(14,7),

使以P、O、C、A為頂點的四邊形為梯形.　　　　　　　　　　　　　　　　 ……1分

(3)由題知，拋物線的開口可能向上，也可能向下.

　①當拋物線開口向上時，則此拋物線與y軸的副半軸交與點N.

可設拋物線的函數表達式為(a＞0).

即

如圖，過點M作MG⊥x軸于點G.

∵Q(-2k，0)、R(5k，0)、G(、N(0，-10ak²)、M

∴

∴　　　　　　　　　　　　　　　 ……2分

②當拋物線開口向下時，則此拋物線與y軸的正半軸交于點N，

　 同理，可得　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　……1分

綜上所知，的值為3：20.　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……1分

19. 解：(1)在中，令

，

，····················································· 1分

又點在上

的解析式為···················································································· 2分

(2)由，得　 ·························································· 4分

，

，····································································································· 5分

······························································································· 6分

(3)過點作于點

····································································································· 7分

················································································································ 8分

由直線可得：

在中，，，則

，····························································································· 9分

·························································································· 10分

··································································································· 11分

此拋物線開口向下，當時，

當點運動2秒時，的面積達到最大，最大為．