1.一定量的锎(252 98Cf)是有用的中子源,1 mg (252 98Cf)每秒約放出2.34×199個中子,在醫(yī)學(xué)上常用作治療惡性腫瘤的中子源。下列有關(guān)锎的說法錯誤的是
A.(252 98Cf)原子中,中子數(shù)為154 B.(252 98Cf)原子中,質(zhì)子數(shù)為98
C.(252 98Cf)原子中,電子數(shù)為98 D.锎元素的相對原子質(zhì)量為252
22. 【解答】(I) 由題意得 f (e) = pe--2ln e = qe--2, Þ (p-q) (e + ) = 0
而 e + ≠0,∴ p = q ………… 2分
(II) 由 (I) 知 f (x) = px--2ln x, f’(x) = p + -=
令 h(x) = px 2-2x + p,要使 f (x) 在其定義域 (0,+¥) 內(nèi)為單調(diào)減函數(shù),只需 h(x) 在 (0,+¥) 內(nèi)滿足h’(x)≤0 恒成立. ………… 4分
① 當(dāng) p = 0時, h(x) = -2x,∵ x > 0,∴ h(x) < 0,∴ f’(x) = - < 0,
∴ f (x) 在 (0,+¥) 內(nèi)為單調(diào)遞減,故 p = 0適合題意. ………… 5分
②當(dāng) p < 0時,h(x) = px 2-2x + p,其圖象為開口向下的拋物線,對稱軸為 x = Ï (0,+¥)
只需 h(0)≤0,即 p≤0時 h(x)≤0在 (0,+¥) 恒成立.故 p < 0適合題意.
綜上可得, p≤0 ………… 7分
另解:(II) 由 (I) 知 f (x) = px--2ln x, f’(x) = p + -= p (1 + )-…… 4分
要使 f (x) 在其定義域 (0,+¥) 內(nèi)為單調(diào)減函數(shù),只需 f’(x) 在 (0,+¥) 內(nèi)滿足f’(x)≤0 恒成立. ………… 5分
由 f’(x)≤0 Û p (1 + )-≤0 Û p≤ Û p≤()min,x > 0
而 > 0 且 x → 0 時,→ 0,故 p≤0。綜上可得p≤0 ………… 7分
(III) ∵ g(x) = 在 [1,e] 上是減函數(shù),∴ x = e 時,g(x)min = 2,x = 1 時,g(x)max = 2e
即 g(x) Î [2,2e]
① p≤0 時,由 (II) 知 f (x) 在 [1,e] 遞減 Þ f (x)max = f (1) = 0 < 2,不合題意。 …… 9分
② 0 < p < 1 時,由x Î [1,e] Þ x-≥0。∴ f (x) = p (x-)-2ln x≤x--2ln x
右邊為 f (x) 當(dāng) p = 1 時的表達(dá)式,故在 [1,e] 遞增
∴ f (x)≤x--2ln x≤e--2ln e = e--2 < 2,不合題意。 ………… 10分
③ p≥1 時, f (x) 在 [1,e] 連續(xù)遞增,f (1) = 0 < 2,又g(x) 在 [1,e] 上是減函數(shù)
∴ 本命題 Û f (x)max > g(x)min = 2,x Î [1,e] Þ f (x)max = f (e) = p (e-)-2ln e > 2
Þ p >
綜上,p 的取值范圍是 (,+¥) ………… 12分
[1?e, 1……………………………………………………………………………(12分)
(2)當(dāng)0≤a<1時,若x∈(?∞, a),則f(x)=a?x+ln(1?x)單調(diào)遞減;若x∈(a, 1),則f(x)=x?a+ln(1?x), f′(x)=<0,f(x)單調(diào)遞減,又f(x)在x=a處連續(xù),所以當(dāng)0≤a<1時,f(x)是減函數(shù),無極值;………………………………………………………………(4分)
(3)當(dāng)a<0時,隨著x的變化,f′(x), f(x)的變化情況如下表:
x
(?∞, a)
a
(a, 0)
0
(0, 1)
f′(x)
?
+
0
?
f(x)
ㄋ
ln(1?a)
ㄊ
?a
ㄋ
…………………………………………………………………………………………(7分)
由上表可知,當(dāng)a<0時,f(x)有極小值ln(1?a),有極大值?a.
綜上所述,如果f(x)存在極值,a的取值范圍是(?∞, 0)…………………………(8分)
(Ⅱ)∵f(1?e)=a+e,∴原不等式就是f(x)≤f(1?e)……………………………(10分)
由(Ⅰ)知,當(dāng)a≥0時,f(x)是減函數(shù),∴x≥1?e,又x<1,∴不等式的解集為
(1)當(dāng)a≥1時,f(x)=a?x+ln(1?x), f′(x)=?1+<0, f(x)是減函數(shù),無極值;…………………………………………………………………………………………(2分)
21.【解答】(Ⅰ)f(x)的定義域為(?∞, 1)…………………………………………(1分)
由表可知解得
,所以存在實數(shù)a,使
的極大值為3。………………………………………………12分
極小
極大
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