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(17)(本小題滿分12分)

已知向量a＝(sinθ，1)，b＝(1，cosθ)，－＜θ＜．

(Ⅰ)若a⊥b，求θ；

(Ⅱ)求｜a+b｜的最大值．

(18)(本小題滿分12分)

某批產(chǎn)品成箱包裝，每箱5件．一用戶在購(gòu)進(jìn)該批產(chǎn)品前先取出3箱，再?gòu)拿肯渲腥我獬槿?件產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn)．設(shè)取出的第一、二、三箱中分別有0件、1件、2件二等品，其余為一等品．

(Ⅰ)用ξ表示抽檢的6件產(chǎn)品中二等品的件數(shù)，求ξ的分布列及ξ的數(shù)學(xué)期望；

(Ⅱ)若抽檢的6件產(chǎn)品中有2件或2件以上二等品，用戶就拒絕購(gòu)買(mǎi)這批產(chǎn)品，求這批產(chǎn)品級(jí)用戶拒絕的概率．

(19)(本小題滿分12分)

如圖，在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，AB＝BC，D、E分別為BB₁、AC₁的中點(diǎn)．

(Ⅰ)證明：ED為異面直線BB₁與AC₁的公垂線；

(Ⅱ)設(shè)AA₁＝AC＝AB，求二面角A₁－AD－C₁的大小．

(20)(本小題滿分12分)

設(shè)函數(shù)f(x)＝(x+1)ln(x+1)，若對(duì)所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

(21)(本小題滿分14分)

已知拋物線x²＝4y的焦點(diǎn)為F，A、B是拋物線上的兩動(dòng)點(diǎn)，且＝λ(λ＞0)．過(guò)A、B兩點(diǎn)分別作拋物線的切線，設(shè)其交點(diǎn)為M．

(Ⅰ)證明·為定值；

(Ⅱ)設(shè)△ABM的面積為S，寫(xiě)出S＝f(λ)的表達(dá)式，并求S的最小值．

(22)(本小題滿分12分)

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且方程x²－a_nx－a_n＝0有一根為S_n－1，n＝1，2，3，…．

(Ⅰ)求a₁，a₂；

(Ⅱ){a_n}的通項(xiàng)公式．

普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試

(13)在(x⁴+)¹⁰的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)是　　　　　　　 (用數(shù)字作答)

(14)已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C成等差數(shù)列，且AB＝1，BC＝4，則邊BC上的中線AD的長(zhǎng)為　　　　　　　　 ．

(15)過(guò)點(diǎn)(1，)的直線l將圓(x－2)²+y²＝4分成兩段弧，當(dāng)劣弧所對(duì)的圓心角最小時(shí)，直線l的斜率k＝　　　　　　 ．

(16)一個(gè)社會(huì)調(diào)查機(jī)構(gòu)就某地居民的月收入調(diào)查了10 000人，并根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫(huà)了樣本的頻率分布直方圖(如下圖)．為了分析居民的收入與年齡、學(xué)歷、職業(yè)等方面的關(guān)系，要從這10 000人中再用分層抽樣方法抽出100人作進(jìn)一步調(diào)查，則在［2500，3000)(元)月收入段應(yīng)抽出　　　　　　　 人．

(1)已知集合M＝{x|x＜3}，N＝{x|log₂x＞1}，則M∩N＝

(A)　　　　　　　　　　　　 (B){x|0＜x＜3}

(C){x|1＜x＜3}　　　　　　　　 (D){x|2＜x＜3}

(2)函數(shù)y＝sin2xcos2x的最小正周期是

(A)2π　　　　　 (B)4π　　　　 (C)　　　　　 (D)

(3)＝

(A)i　　　　　 (B)－i　　　　 (C)　　　　　 (D)－

(4)過(guò)球的一條半徑的中點(diǎn)，作垂直于該半徑的平面，則所得截面的面積與球的表面積的比為

(A)　　　　　　 (B)　　　　　　 (C)　　　　　　　 (D)

(5)已知△ABC的頂點(diǎn)B、C在橢圓+y²＝1上，頂點(diǎn)A是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，且橢圓的另外一個(gè)焦點(diǎn)在BC邊上，則△ABC的周長(zhǎng)是

(A)2　　　　　　 (B)6　　　　　 (C)4　　　　 (D)12

(6)函數(shù)y＝lnx－1(x＞0)的反函數(shù)為

(A)y＝e^x+1(x∈R)　　　　　　　　　　　 (B)y＝e^x－1(x∈R)

(C)y＝e^x+1(x＞1)　　　　　　　　　　　　 (D)y＝e^x－1(x＞1)

(7)如圖，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB與兩平面α、β所成的角分別為和，過(guò)A、B分別作兩平面交線的垂線，垂足為A′、B′，則AB∶A′B′＝

(A)2∶1　　　　　　　 (B)3∶1

(C)3∶2　　　　　　　 (D)4∶3

(8)函數(shù)y＝f(x)的圖像與函數(shù)g(x)＝log₂x(x＞0)的圖像關(guān)于原點(diǎn)

對(duì)稱，則f(x)的表達(dá)式為

(A)f(x)＝(x＞0)　　　　　 (B)f(x)＝log₂(－x)(x＜0)

(C)f(x)＝－log₂x(x＞0)　　　　 (D)f(x)＝－log₂(－x)(x＜0)

(9)已知雙曲線的一條漸近線方程為y＝x，則雙曲線的離心率為

(A)　　　　　　 (B)　　　　　 (C)　　　　　　 (D)

(10)若f(sinx)＝3－cos2x，則f(cosx)＝

(A)3－cos2x　　　　 (B)3－sin2x　　　　 (C)3+cos2x　　　 (D)3+sin2x

(11)設(shè)S_n是等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，若＝，則＝

(A)　　　　　 (B)　　　　　　　　　 (C)　　　　　 (D)

(12)函數(shù)f(x)＝的最小值為

(A)190　　　　　 (B)171　　　　　　 (C)90　　　　 (D)45

絕密★啟用前

普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)103

第Ⅱ卷

(本卷共10小題，共90分)

22. 解: f ' (x)=3x²－2ax+(a²－1),其判別式△=4a²－12a²+12=12－8a².

(ⅰ)若△=12－8a²=0,即 a=±, 當(dāng)x∈(－∞,), 或x∈( , +∞)時(shí), f '(x)>0, f(x)在(－∞,+ ∞)為增函數(shù). 所以a=±.

　(ⅱ)若△=12－8a²<0, 恒有f '(x)>0, f(x)在(－∞,+ ∞)為增函數(shù), 所以a²> ,

即 a∈(－∞,－ )∪( , +∞)

(ⅲ)若△12－8a²>0,即－ <a<, 令f '(x)=0, 解得 x₁=, x₂=.

當(dāng)x∈(－∞,x₁),或x∈(x₂,+ ∞)時(shí), f '(x)>0, f(x)為增函數(shù); 當(dāng)x∈(x₁,x₂)時(shí) , f '(x)<0,f(x)為減函數(shù). 依題意x₁≥0且x₂≤1. 由x₁≥0得a≥,解得 1≤a<

由x₂≤1得≤3－a, 解得 － <a< , 從而 a∈[1, )

綜上,a的取值范圍為(－∞,－ ]∪[ , +∞) ∪[1, ),即a∈(－∞,－ ]∪[1,∞).

21. 解: 依題意可設(shè)P(0,1),Q(x,y),則 |PQ|=,又因?yàn)镼在橢圓上,

所以,x²=a²(1－y²) , |PQ|²= a²(1－y²)+y²－2y+1=(1－a²)y²－2y+1+a²

　　　 =(1－a²)(y－ )²－+1+a² .

因?yàn)閨y|≤1,a>1, 若a≥, 則||≤1, 當(dāng)y=時(shí), |PQ|取最大值;

若1<a<,則當(dāng)y=－1時(shí), |PQ|取最大值2.

20.解法一: (Ⅰ)由已知l₂⊥MN, l₂⊥l₁ , MN∩l₁ =M, 可得l₂⊥平面ABN.由已知MN⊥l₁ , AM=MB=MN,可知AN=NB且AN⊥NB. 又AN為AC在平面ABN內(nèi)的射影.

∴AC⊥NB

(Ⅱ)∵Rt△CAN≌Rt△CNB, ∴AC=BC,又已知∠ACB=60°,因此△ABC為正三角形.

∵Rt△ANB≌Rt△CNB, ∴NC=NA=NB,因此N在平面ABC內(nèi)的射影H是正三角形ABC的中心,連結(jié)BH,∠NBH為NB與平面ABC所成的角.

在Rt△NHB中,cos∠NBH= = = .

解法二: 如圖,建立空間直角坐標(biāo)系M－xyz.令MN=1, 則有A(－1,0,0),B(1,0,0),N(0,1,0),

(Ⅰ)∵M(jìn)N是 l₁、l₂的公垂線, l₁⊥l₂, ∴l₂⊥平面ABN. l₂平行于z軸. 故可設(shè)C(0,1,m).于是 =(1,1,m), =(1,－1,0). ∴·=1+(－1)+0=0　 ∴AC⊥NB.

(Ⅱ)∵ =(1,1,m), =(－1,1,m), ∴||=||, 又已知∠ACB=60°,∴△ABC為正三角形,AC=BC=AB=2. 在Rt△CNB中,NB=, 可得NC=,故C(0,1, ).

連結(jié)MC,作NH⊥MC于H,設(shè)H(0,λ, λ) (λ>0). ∴=(0,1－λ,－λ),

=(0,1, ). · = 1－λ－2λ=0, ∴λ= ,

∴H(0, , ), 可得=(0,, － ), 連結(jié)BH,則=(－1,, ),

∵·=0+ － =0, ∴⊥, 又MC∩BH=H,∴HN⊥平面ABC,

∠NBH為NB與平面ABC所成的角.又=(－1,1,0),

∴cos∠NBH= = 　=

19. 解: (1)設(shè)A_i表示事件“一個(gè)試驗(yàn)組中，服用A有效的小鼠有i只" , i=0,1,2,

B_i表示事件“一個(gè)試驗(yàn)組中，服用B有效的小鼠有i只" , i=0,1,2,

依題意有: P(A₁)=2×× = , P(A₂)= × = . P(B₀)= × = ,

P(B₁)=2× × = , 所求概率為: P=P(B₀·A₁)+P(B₀·A₂)+P(B₁·A₂)

= × + × + × =

(Ⅱ)所求概率為: P=1－(1－)³=

18.解: 由A+B+C=π, 得 = － , 所以有cos =sin .

cosA+2cos =cosA+2sin =1－2sin² + 2sin

=－2(sin － )²+

當(dāng)sin = , 即A=時(shí), cosA+2cos取得最大值為

17.解: 設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q, 則q≠0, a₂= = , a₄=a₃q=2q

所以 + 2q= , 解得q₁= , q₂= 3,

當(dāng)q₁=, a₁=18.所以 a_n=18×()^n－1= = 2×3^3－n.　

當(dāng)q=3時(shí), a₁= , 所以a_n=×3n－1=2×3^n－3.

⒄、(本小題滿分12分)

已知為等比數(shù)列，，求的通項(xiàng)式。

⒅、(本小題滿分12分)

的三個(gè)內(nèi)角為，求當(dāng)A為何值時(shí)，取得最大值，并求出這個(gè)最大值。

⒆、(本小題滿分12分)

A、B是治療同一種疾病的兩種藥，用若干試驗(yàn)組進(jìn)行對(duì)比試驗(yàn)。每個(gè)試驗(yàn)組由4只小白鼠組成，其中2只服用A，另2只服用B，然后觀察療效。若在一個(gè)試驗(yàn)組中，服用A有效的小白鼠的只數(shù)比服用B有效的多，就稱該試驗(yàn)組為甲類組。設(shè)每只小白鼠服用A有效的概率為，服用B有效的概率為。

(Ⅰ)求一個(gè)試驗(yàn)組為甲類組的概率；

(Ⅱ)觀察3個(gè)試驗(yàn)組，求這3個(gè)試驗(yàn)組中至少有一個(gè)甲類組的概率。

⒇、(本小題滿分12分)

如圖，、是互相垂直的異面直線，MN是它們的公垂線段。點(diǎn)A、B在上，C在上，。

(Ⅰ)證明⊥；

(Ⅱ)若，求與平面ABC所成角的余弦值。

(21)、(本小題滿分12分)

設(shè)P是橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)，為橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求的最大值。

(22)、(本小題滿分14分)

設(shè)為實(shí)數(shù)，函數(shù)在和都是增函數(shù)，求的取值范圍。

全國(guó)卷Ⅰ文答案