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1、（2009上海九校聯考）已知數列的前項和為，若，則           .

128

2、（（2009上海八校聯考）在數列中，，且，_________。

2550

3、（2009冠龍高級中學3月月考）若數列中，，則數列中的項的最小值為_________。

4

4、（2009閔行三中模擬）已知是等比數列，，則=               。

（）

5、（2009上海十四校聯考）若數列為“等方比數列”。則“數列是等方比數列”是“數列是等方比數列”的      條件

2

1、（2009上海十四校聯考）無窮等比數列…各項的和等于               （    ）

       A．             B．              C．              D．

B

2、（2009上海盧灣區4月模考）

設數列的前項之和為，若()，則  (     )

A．是等差數列，但不是等比數列；  B．是等比數列，但不是等差數列；

C．是等差數列，或是等比數列；    D．可以既不是等比數列，也不是等差數列．

1、（2009上海盧灣區4月模考）已知數列的前項和為，且對任意正整數，都滿足：，其中為實數.

   （1）求數列的通項公式；

   （2）若為楊輝三角第行中所有數的和，即，為楊輝三角前行中所有數的和，亦即為數列的前項和，求的值.

解：（1） 由已知，，相減得，由得，又，得，故數列是一個以為首項，以為公比的等比數列.                     （4分）

    從而  ；                   （6分）

（2），                               （7分）

又，故，             （11分）

于是，

當，即時，，

當，即時，，

當，即時，不存在.                     （14分）

2、（2009上海八校聯考）已知點列順次為直線上的點，點列順次為軸上的點，其中，對任意的，點、、構成以為頂點的等腰三角形。

（1）證明:數列是等差數列；

（2）求證:對任意的，是常數，并求數列的通項公式；

（3）對上述等腰三角形添加適當條件，提出一個問題，并做出解答。

（根據所提問題及解答的完整程度，分檔次給分）

解: (1)依題意有,于是.

所以數列是等差數列.                      　　　　　　　　.4分

(2)由題意得,即 , ()         ①

所以又有.                        ②   

由②①得：,　所以是常數．　　　　　　　６分

由都是等差數列.

，那么得    ,

.    (      ８分

故                           　　 1０分

(3) 提出問題①：若等腰三角形中，是否有直角三角形，若有，求出實數

 提出問題②：若等腰三角形中，是否有正三角形，若有，求出實數

解：問題①   　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　1１分

當為奇數時,,所以

當為偶數時,所以   　　　　

作軸,垂足為則,要使等腰三角形為直角三角形,必須且只須：.                  　　　　　　　　　　　　１３分

當為奇數時,有,即        ①

， 當, 不合題意.15分

當為偶數時,有 ，,同理可求得 

當時,不合題意. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　1７分

綜上所述,使等腰三角形中，有直角三角形,的值為或或.                                    　　　　　　　 1８分

解：問題②   　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　1１分

當為奇數時,,所以

當為偶數時,所以   　　　　

作軸,垂足為則,要使等腰三角形為正三角形,必須且只須：.                  　　　　　　　　　　　　１３分

當為奇數時,有,即        ①

， 當時，. 不合題意．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　15分

當為偶數時,有 ，,同理可求得  .

；；當時，不合題意．1７分

綜上所述,使等腰三角形中，有正三角形，的值為

；；　；1８分

3、（2009上海奉賢區模擬考）已知點集，其中，，點列在L中，為L與y軸的交點，等差數列的公差為1，。

（1）求數列的通項公式；

（2）若＝_，令；試用解析式寫出關于的函數。

（3）若＝_，給定常數m(),是否存在，使得 ，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由。

（1）y＝? ＝(2x－b)＋(b＋1)＝2x＋1                 -----(1分)

與軸的交點為，所以；           -----(1分)

所以，即，                         -----(1分)

因為在上，所以，即    -----(1分)

（2）設 （），

即 （）         ----(1分)

（A）當時，

                                                     ----(1分)

==，而，所以              ----(1分)

（B）當時，   ----(1分)

= =，                        ----(1分)

而，所以                                       ----(1分)

因此（）                              ----(1分)

（3）假設，使得 ，

（A）為奇數

（一）為奇數，則為偶數。則，。則，解得：與矛盾。                   ----(1分)

（二）為偶數，則為奇數。則，。則，解得：（是正偶數）。           ----(1分)

（B）為偶數

（一）為奇數，則為奇數。則，。則，解得：（是正奇數）。             ----(1分)

（二）為偶數，則為偶數。則，。則，解得：與矛盾。           ----(1分)

由此得：對于給定常數m()，這樣的總存在；當是奇數時，；當是偶數時，。                 ----(1分)

4、（2009冠龍高級中學3月月考）由函數確定數列，，函數的反函數能確定數列，，若對于任意，都有，則稱數列是數列的“自反數列”。

(1)若函數確定數列的自反數列為，求的通項公式；

(2)在(1)條件下，記為正數數列的調和平均數，若，為數列的前項和，為數列的調和平均數，求；

(3)已知正數數列的前項之和。求的表達式。

解：(1)由題意的：f ^?1(x)== f(x)=，所以p = ?1，所以a_n=

 (2) a_n=，d_n==n，

S_n為數列{d_n}的前n項和，S_n=，又H_n為數列{S_n}的調和平均數，

H_n===   ==

(3)因為正數數列{c_n}的前n項之和T_n=(c_n+)，

所以c₁=(c₁+)，解之得：c₁=1，T₁=1

當n≥2時，c_n = T_n?T_n?1，所以2T_n = T_n?T_n?1 +，

T_n +T_n?1 = ，即：= n，

所以，= n?1，= n?2，……，=2，累加得：

=2+3+4+……+ n，      =1+2+3+4+……+ n =，T_n=

5、（2009閔行三中模擬）已知點列B₁(1,y₁)、B₂(2,y₂)、…、B_n(n,y_n)（n∈N）順次為一次函數圖像上的點，點列A₁(x₁,0)、A₂(x₂,0)、…、A_n(x_n,0)（n∈N）順次為x軸正半軸上的點，其中x₁=a（0＜a＜1），對于任意n∈N，點A_n、B_n、A_n+1構成一個頂角的頂點為B_n的等腰三角形。

⑴求數列{y_n}的通項公式，并證明{y_n}是等差數列；

⑵證明x_n+2-x_n為常數，并求出數列{x_n}的通項公式；

⑶在上述等腰三角形A_nB_nA_n+1中，是否存在直角三角形？若有，求出此時a值；若不存在，請說明理由。

解：（1）(nÎN),∵y_n+1-y_n=,∴{y_n}為等差數列 ………………4分

   （2）因為與為等腰三角形.

所以，兩式相減得 。………………7分

注：判斷得2分，證明得1分

∴x₁,x₃,x₅,…,x_2n-1及x₂,x₄,x₆ ，…，x_2n都是公差為2的等差數列，………………6分

        ∴ ………………10分

   （3）要使A_nB_nA_n+1為直角三形，則 |A_nA_n+1|=2=2()Þx_n+1-x_n=2()

        當n為奇數時，x_n+1=n+1-a，x_n=n+a-1,∴x_n+1-x_n=2(1-a).

        Þ2(1-a)=2() Þa=(n為奇數，0＜a＜1)  (*)

        取n=1，得a=，取n=3，得a=，若n≥5，則(*)無解； ………………14分

        當偶數時，x_n+1=n+a，x_n=n-a，∴x_n+1-x_n=2a.

        ∴2a=2()Þa=(n為偶數，0＜a＜1)  (*¢)，

取n=2，得a=,若n≥4，則(*¢)無解.

        綜上可知，存在直角三形，此時a的值為、、. ………………18分

6、（2009上海青浦區）設數列的前和為，已知，，，，

一般地，（）．

（1）求；

（2）求；

（3）求和：．

（1）；                                          ……3分

（2）當時，（）

， ……6分

所以，（）．                                      ……8分

（3）與（2）同理可求得：，                       ……10分

設=，

則，（用等比數列前n項和公式的推導方法），相減得

，所以

．                          ……14分