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定義：設函數y=f（x）在（a，b）內可導，f'（x）為f（x）的導數，f''（x）為f'（x）的導數即f（x）的二階導數，若函數y=f（x） 在（a，b）內的二階導數恒大于等于0，則稱函數y=f（x）是（a，b）內的下凸函數（有時亦稱為凹函數）．已知函數f（x）=xlnx
（1）證明函數f（x）=xlnx是定義域內的下凸函數，并在所給直角坐標系中畫出函數f（x）=xlnx的圖象；
（2）對?x₁，x₂∈R⁺，根據所畫下凸函數f（x）=xlnx圖象特征指出x₁lnx₁+x₂lnx₂≥（x₁+x₂）[ln（x₁+x₂）-ln2]與x₁lnx₁+x₂lnx₂≥（x₁+x₂）[ln（x₁+x₂）-ln2]的大小關系；
（3）當n為正整數時，定義函數N （n）表示n的最大奇因數．如N （3）=3，N （10）=5，…．記S（n）=N（1）+N（2）+…+N（2ⁿ），若，證明：（i，n∈N^*）．

已知數列是各項均不為0的等差數列，公差為d，為其前n項和，且滿足,．數列滿足,，為數列的前n項和．

（1）求數列的通項公式和數列的前n項和；

（2）若對任意的，不等式恒成立，求實數的取值范圍；

（3）是否存在正整數，使得成等比數列？若存在，求出所有的值；若不存在，請說明理由．

【解析】第一問利用在中，令n=1，n=2，

得   即      

解得，， [

又時，滿足，

，

第二問，①當n為偶數時，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立．   

 ，等號在n=2時取得．

此時 需滿足．  

②當n為奇數時，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立．     

 是隨n的增大而增大， n=1時取得最小值-6．

此時 需滿足．

第三問，

     若成等比數列，則，

即．

由，可得，即，

        ．

（1）（法一）在中，令n=1，n=2，

得   即      

解得，， [

又時，滿足，

，

．

（2）①當n為偶數時，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立．   

 ，等號在n=2時取得．

此時 需滿足．  

②當n為奇數時，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立．     

 是隨n的增大而增大， n=1時取得最小值-6．

此時 需滿足．

綜合①、②可得的取值范圍是．

（3），

     若成等比數列，則，

即．

由，可得，即，

．

又，且m>1，所以m=2，此時n=12．

因此，當且僅當m=2， n=12時，數列中的成等比數列

 

函數是定義在上的奇函數，且。

（1）求實數a，b，并確定函數的解析式；

（2）判斷在（-1，1）上的單調性，并用定義證明你的結論；

（3）寫出的單調減區間，并判斷有無最大值或最小值？如有，寫出最大值或最小值。（本小問不需要說明理由）

【解析】本試題主要考查了函數的解析式和奇偶性和單調性的綜合運用。第一問中，利用函數是定義在上的奇函數，且。

解得，

（2）中，利用單調性的定義，作差變形判定可得單調遞增函數。

（3）中，由2知，單調減區間為，并由此得到當，x=-1時，，當x=1時，

解：（1）是奇函數，。

即，，………………2分

，又，，，

（2）任取，且，

，………………6分

，

，，，，

在（-1，1）上是增函數。…………………………………………8分

（3）單調減區間為…………………………………………10分

當，x=-1時，，當x=1時，。