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如圖6，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，AD∥BC，AC⊥BD.

（Ⅰ）證明：BD⊥PC；

（Ⅱ）若AD=4，BC=2，直線PD與平面PAC所成的角為30°，求四棱錐P-ABCD的體積.

【解析】（Ⅰ）因為

又是平面PAC內的兩條相較直線，所以BD平面PAC，

而平面PAC，所以.

（Ⅱ）設AC和BD相交于點O，連接PO，由（Ⅰ）知，BD平面PAC，

所以是直線PD和平面PAC所成的角，從而.

由BD平面PAC，平面PAC，知.在中，由，得PD=2OD.因為四邊形ABCD為等腰梯形，，所以均為等腰直角三角形，從而梯形ABCD的高為于是梯形ABCD面積

在等腰三角形ＡＯＤ中，

所以

故四棱錐的體積為.

【點評】本題考查空間直線垂直關系的證明，考查空間角的應用，及幾何體體積計算.第一問只要證明BD平面PAC即可，第二問由（Ⅰ）知，BD平面PAC，所以是直線PD和平面PAC所成的角，然后算出梯形的面積和棱錐的高，由算得體積

某廠根據市場需求開發折疊式小凳（如圖所示）. 凳面為三角形的尼龍布，凳腳為三根細鋼管. 考慮到鋼管的受力和人的舒適度等因素，設計小凳應滿足：① 凳子高度為，② 三根細鋼管相交處的節點與凳面三角形重心的連線垂直于凳面和地面. （1）若凳面是邊長為的正三角形，三只凳腳與地面所成的角均為，確定節點分細鋼管上下兩段的比值；
（2）若凳面是頂角為的等腰三角形，腰長為，節點分細鋼管上下兩段之比為. 確定三根細鋼管的長度.

某廠根據市場需求開發折疊式小凳（如圖所示）. 凳面為三角形的尼龍布，凳腳為三根細鋼管. 考慮到鋼管的受力和人的舒適度等因素，設計小凳應滿足：① 凳子高度為，② 三根細鋼管相交處的節點與凳面三角形重心的連線垂直于凳面和地面. （1）若凳面是邊長為的正三角形，三只凳腳與地面所成的角均為，確定節點分細鋼管上下兩段的比值；

（2）若凳面是頂角為的等腰三角形，腰長為，節點分細鋼管上下兩段之比為. 確定三根細鋼管的長度.

某廠根據市場需求開發折疊式小凳（如圖所示）. 凳面為三角形的尼龍布，凳腳為三根細鋼管. 考慮到鋼管的受力和人的舒適度等因素，設計小凳應滿足：① 凳子高度為，② 三根細鋼管相交處的節點與凳面三角形重心的連線垂直于凳面和地面. （1）若凳面是邊長為的正三角形，三只凳腳與地面所成的角均為，確定節點分細鋼管上下兩段的比值；

（2）若凳面是頂角為的等腰三角形，腰長為，節點分細鋼管上下兩段之比為. 確定三根細鋼管的長度.

（1）若凳面是邊長為20cm的正三角形，三只凳腳與地面所成的角均為，確定節點分細鋼管上下兩段的比值（精確到0.01）；

（2）若凳面是頂角為的等腰三角形，腰長為24cm，節點分細鋼管上下兩段之比為2:3.確定三根細鋼管的長度（精確到0.1cm）.