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2．．

若滿足條件的存在，則

∵函數在內是減函數，∴當時，，

即對于恒成立．

∴

∴，解得．

又函數在(－1，0)上是增函數，∴當時，

即對于恒成立，

∴

∴，解得．

故當時，在上是減函數，在(－1，0)上是增函數，即滿足條件的存在．

說明：函數思維實際上是辯證思維的一種特殊表現形式，它包含著運動、變化，也就存在著量與量之間的相互依賴、相互制約的關系．因此挖掘題目中的隱含條件則是打開解題思路的重要途徑，具體到解題的過程，學生很大的思維障礙是迷失方向，不知從何處入手去溝通已知與未知的關系，使分散的條件相對集中，促成問題的解決．不善于應用恒成立和恒成立，究其原因是對函數的思想方法理解不深．

利用導數比較大小

例　 已知a、b為實數，且，其中e為自然對數的底，求證：．

分析：通過考察函數的單調性證明不等式也是常用的一種方法．根據題目自身的特點，適當的構造函數關系，在建立函數關系時，應盡可能選擇求導和判斷導數都比較容易的函數，一般地，證明，可以等價轉化為證明，如果，則函數在上是增函數，如果，由增函數的定義可知，當時，有，即．

解：證法一：

，∴要證，只要證，

設，則．

，∴，且，∴

∴函數在上是增函數．

∴，即，

∴

證法二：要證，只要證，

即證，設，則，

∴函數在上是減函數．

又，即

說明：“構造”是一種重要而靈活的思維方式，應用好構造思想解題的關鍵是：一要有明確的方向，即為什么目的而構造；二是要弄清條件的本質特點，以便重新進行邏輯組合．解決這種問題常見的思維誤區是不善于構造函數或求導之后得出的錯誤結論．

判斷函數在給定區間上的單調性

例　 函數在區間上是(　 )

　　 A．增函數，且　 B．減函數，且

　　 C．增函數，且　 D．減函數，且

分析：此題要解決兩個問題：一是要判斷函數值y的大��；二是要判斷此函數的單調性．

解：解法一：令，且，

則，排除A、B．

由復合函數的性質可知，u在 上為減函數．

又亦為減函數，故在 　上為增函數，排除D，選C．

解法二：利用導數法

()，故y在上是增函數．

由解法一知．所以選C．

說明：求函數的值域，是中學教學中的難關．一般可以通過圖象觀察或利用不等式性質求解，也可以用函數的單調性求出最大、最小值等(包括初等方法和導數法)．對于復合函數的單調性問題，簡單的復合函數是可以利用復合函數的性質進行判斷，但是利用導數法判斷一些較復雜的復合函數還是有很大優勢的．

2．設，試問：是否存在實數，使在內為減函數，且在(－1，0)內是增函數．

分析：根據題設條件可以求出的表達式，對于探索性問題，一般先對結論做肯定存在的假設，然后由此肯定的假設出發，結合已知條件進行推理論證，由推證結果是否出現矛盾來作出判斷．解題的過程實質是一種轉化的過程，由于函數是可導函數，因此選擇好解題的突破口，要充分利用函數的單調性構造等價的不等式，確定適合條件的參數的取值范圍，使問題獲解．

解：1．由題意得，

，

∴

∴

1．設，求的解析式；

3．函數定義域為

令，得或．

∴函數的單調遞增區間為和；

令，得且，

∴函數的單調遞減區間是和．

說明：依據導數在某一區間內的符號來確定函數的單調區間，體現了形象思維的直觀性和運動性．解決這類問題，如果利用函數單調性定義來確定函數的單調區間，運算顯得繁瑣，區間難以找準．學生易犯的錯誤是將兩個以上各自獨立單調遞增(或遞減)區間寫成并集的形式，如將例1函數的單調遞增區間和遞減區間分別寫成 和 的錯誤結果．這里我們可以看出，除函數思想方法在本題中的重要作用之外，還要注意轉化的思想方法的應用．

求解析式并根據單調性確定參數

例　 已知，且

2．函數定義域為

令，得．

∴函數的遞增區間為(0，1)；

令，得，

∴函數的單調遞減區間為(1，2)．

3．

分析：為了提高解題的準確性，在利用求導的方法確定函數的單調區間時，也必須先求出函數的定義域，然后再求導判斷符號，以避免不該出現的失誤．

解：1．函數的定義域為R，

令，得或．

∴函數的單調遞增區間為(－1，0)和；

令，得或，

∴函數的單調遞減區間為和(0，1)．

2．；

1．；

3．函數是奇函數，只需討論函數在(0，1)上的單調性

當時，

若，則，函數在(0，1)上是減函數；

若，則，函數在(0，1)上是增函數．

又函數是奇函數，而奇函數在對稱的兩個區間上有相同的單調性．所以當時，函數在(－1，1)上是減函數，當時，函數在(－1，1)上是增函數．

說明：分類討論是重要的數學解題方法．它把數學問題劃分成若干個局部問題，在每一個局部問題中，原先的“不確定因素”不再影響問題的解決，當這些局部問題都解決完時，整個問題也就解決了．在判斷含參數函數的單調性時，不僅要考慮到參數的取值范圍，而且要結合函數的定義域來確定的符號，否則會產生錯誤判斷．

　　 分類討論必須給予足夠的重視，真正發揮數學解題思想作為聯系知識與能力中的作用，從而提高簡化計算能力．

利用導數求函數的單調區間

例　 求下列函數的單調區間：

2．函數的定義域是或

①若，則當時，，

∴，∴函數在上是增函數；

當時，，∴函數在上是減函數

②若，則當時，，

∴函數在上是減函數；

當時，，∴函數在上是增函數