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例1、求函數的最大值和最小值.

例2、在平面直角坐標系中有點，.

　(1)求向量的夾角的余弦值用表示的函數；

　(2)求的最值.

例3、如圖，某海濱浴場的岸邊可近似地看作直線，救生員現在岸邊的A處，發現海中的B處有人求救，救生員沒有直接從A處游向B處，而是沿岸邊A跑到離B最近的D處，然后游向B處，若救生員在岸邊的行進速度為6米/秒，在海水中的行進速度為2米/秒.

(1)分析救生員的選擇是否正確？

(2)在AD上找一處C，使救生員從A到B的時間最短，并求出最短時間。

例4、已知函數。

(1)證明：當時，經過圖象上的任意兩點的直線的斜率恒為負數；

(2)設有不相等的實數，，且，求+的值。

例5、(05山東卷)已知向量，

求的值.

5、設，則的最大值是　 ，最小值是　 .

4、函數與函數的圖象圍成一個封閉圖形，這個封閉圖形的面積是　　　　　 .

3、已知是定義在(0,3)上的函數，圖象如圖所示，那么不等式的解集是　　　　　　　　　 (　　 )

　A、　　　　 B、

　C、　　　 D、

2、設實數滿足，是正常數，且，那么的最大值是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　　　 )

　A、　　　 B、　　 C、　　 D、

1、直線，，當變化時，與交點的軌跡是　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(　　 )

　A、直線　　　　　 B、直線

　C、圓　　　　　　　 D、無法確定

三角函數是一種應用十分廣泛的函數，常將一些代數問題、幾何問題或某些實際應用問題通過三角代換，利用轉化和化歸的思想方法轉化為三角問題來求解。

10. 在△ABC中，sinA=，判斷這個三角形的形狀.

分析：判斷一個三角形的形狀，可由三個內角的關系確定，亦可由三邊的關系確定.采用后一種方法解答本題，就必須“化角為邊”.

解：應用正弦定理、余弦定理，可得

a=，所以

,

化簡得a²=b²+c².所以△ABC是直角三角形.

評述：恒等變形是學好數學的基本功，變形的方向是關鍵.若考慮三內角的關系，本題可以從已知條件推出cosA=0.

[探索題]已知A、B、C是△ABC的三個內角，y=cotA+.

(1)若任意交換兩個角的位置，y的值是否變化?試證明你的結論.

(2)求y的最小值.

解：(1)∵y=cotA+

=cot A+

=cot A+

=cotA+cotB+cotC，

∴任意交換兩個角的位置，y的值不變化.

(2)∵cos(B－C)≤1，

∴y≥cotA+=+2tan=(cot+3tan)≥=.

故當A=B=C=時，y_min=.

評述：本題的第(1)問是一道結論開放型題，y的表達式的表面不對稱性顯示了問題的有趣之處.第(2)問實際上是一道常見題：在△ABC中，求證：cotA+cotB+cotC≥.

可由三數的均值不等式結合cotA+cotB+cotC =cotAcotBcotC來證.

9. (2004全國Ⅱ)已知銳角△ABC中，sin(A+B)=，sin(A－B)=.

(1)求證：tanA=2tanB；

(2)設AB=3，求AB邊上的高.

剖析：有兩角的和與差聯想到兩角和與差的正弦公式，結合圖形，以(1)為鋪墊，解決(2).

(1)證明：∵sin(A+B)=，sin(A－B)=，

∴

=2.

∴tanA=2tanB.

(2)解：＜A+B＜π，∴sin(A+B)=.

∴tan(A+B)=－，

即=－.將tanA=2tanB代入上式整理得2tan²B－4tanB－1=0，解得tanB=(負值舍去).得tanB=，∴tanA=2tanB=2+.

設AB邊上的高為CD，則AB=AD+DB=+=.由AB=3得CD=2+，所以AB邊上的高為2+.

評述：本題主要考查三角函數概念，兩角和與差的公式以及應用，分析和計算能力.

8.(2005春北京)在△ABC中，sinA+cosA=，AC=2，AB=3，求tanA的值和△ABC的面積.

解法一：∵sinA+cosA=cos(A－45°)=，

∴cos(A－45°)=.

又0°＜A＜180°，

∴A－45°=60°，A=105°.

∴tanA=tan(45°+60°)==－2－.

∴sinA=sin105°=sin(45°+60°)

=sin45°cos60°+cos45°sin60°=.

∴S_△ABC=AC·ABsinA

=·2·3·

=(+).

解法二：∵sinA+cosA=，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ①

∴(sinA+cosA)²=.∴2sinAcosA=－.

∵0°＜A＜180°，∴sinA＞0，cosA＜0.

∴90°＜A＜180°.

∵(sinA－cosA)²=1－2sinAcosA=，

∴sinA－cosA=.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ②

①+②得sinA=.

①－②得cosA=.

∴tanA==·=－2－.

(以下同解法一)