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本講概念性強、抽象性強、思維方法獨特。因此要立足于基礎知識、基本方法、基本問題的練習，恰當選取典型例題，構建思維模式，造就思維依托和思維的合理定勢

1．使用公式P(A)=計算時，確定m、n的數值是關鍵所在,其計算方法靈活多變,沒有固定的模式，可充分利用排列組合知識中的分類計數原理和分步計數原理，必須做到不重復不遺漏

復習這部分內容及解答此類問題首先必須使學生明確判斷兩點：(1)對于每個隨機實驗來說，所有可能出現的實驗結果數n必須是有限個；(2)出現的所有不同的實驗結果數m其可能性大小必須是相同的。只有在同時滿足(1)、(2)的條件下，運用的古典概型計算公式P(A)=m/n得出的結果才是正確的。

所以_[來源:]

由事件的獨立性的

_{[來源:學#科#網]}

解答2(Ⅰ)設事件A表示“一個月內被投訴2次”設事件B表示“一個月內被投訴的次數不超過1次”

所以

(Ⅱ)同解答1(Ⅱ)

(2008安徽理19)

(本小題滿分12分)

為防止風沙危害，某地決定建設防護綠化帶，種植楊樹、沙柳等植物。某人一次種植了n株沙柳，各株沙柳成活與否是相互獨立的，成活率為p，設為成活沙柳的株數，數學期望，標準差為。

(Ⅰ)求n,p的值并寫出的分布列；

(Ⅱ)若有3株或3株以上的沙柳未成活，則需要補種，求需要補種沙柳的概率

(1)由得,從而

的分布列為

	0	1	2	3	4	5	6

(2)記”需要補種沙柳”為事件A,　 則　 得

　 　或

題型1：隨機事件的定義

例1．判斷下列事件哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是隨機事件？

(1)“拋一石塊，下落”.

(2)“在標準大氣壓下且溫度低于0℃時，冰融化”；

(3)“某人射擊一次，中靶”；

(4)“如果a＞b,那么a－b＞0”;

(5)“擲一枚硬幣，出現正面”；

(6)“導體通電后，發熱”；

(7)“從分別標有號數1，2，3，4，5的5張標簽中任取一張，得到4號簽”；

(8)“某電話機在1分鐘內收到2次呼叫”；

(9)“沒有水份，種子能發芽”；

(10)“在常溫下，焊錫熔化”．

解析：根據定義，事件(1)、(4)、(6)是必然事件；事件(2)、(9)、(10)是不可能事件；事件(3)、(5)、(7)、(8)是隨機事件

點評：熟悉必然事件、不可能事件、隨機事件的聯系與區別。針對不同的問題加以區分。

例2．(1)如果某種彩票中獎的概率為，那么買1000張彩票一定能中獎嗎？請用概率的意義解釋。

解析：不一定能中獎，因為，買1000張彩票相當于做1000次試驗，因為每次試驗的結果都是隨機的，即每張彩票可能中獎也可能不中獎，因此，1000張彩票中可能沒有一張中獎，也可能有一張、兩張乃至多張中獎。

點評：買1000張彩票，相當于1000次試驗，因為每次試驗的結果都是隨機的，所以做1000次試驗的結果也是隨機的，也就是說，買1000張彩票有可能沒有一張中獎。

(2)在一場乒乓球比賽前，裁判員利用抽簽器來決定由誰先發球，請用概率的知識解釋其公平性。

解析：這個規則是公平的，因為抽簽上拋后，紅圈朝上與綠圈朝上的概率均是0.5，因此任何一名運動員猜中的概率都是0.5，也就是每個運動員取得先發球權的概率都是0.5。

點評：這個規則是公平的，因為每個運動員先發球的概率為0.5，即每個運動員取得先發球權的概率是0.5。事實上，只能使兩個運動員取得先發球權的概率都是0.5的規則都是公平的

題型2：頻率與概率

例3．某種菜籽在相同在相同的條件下發芽試驗結果如下表：(求其發芽的概率)

解析：我們根據表格只能計算不同情況下的種子發芽的頻率分別是：1，0.8，0.9，0.857，0.892，0.910，0.913，0.893，0.903，0.905。隨著種子粒數的增加，菜籽發芽的頻率越接近于0.9，且在它附近擺動。故此種子發芽的概率為0.9。

點評：我們可以用頻率的趨向近似值表示隨機事件發生的概率

例4．進行這樣的試驗：從0、1、2、…、9這十個數字中隨機取一個數字，重復進行這個試驗10000次，將每次取得的數字依次記下來，我們就得到一個包括10000個數字的“隨機數表”．在這個隨機數表里，可以發現0、1、2、…、9這十個數字中各個數字出現的頻率穩定在0.1附近．現在我們把一個隨機數表等分為10段，每段包括1000個隨機數，統計每1000個隨機數中數字“7”出現的頻率，得到如下的結果：

段序：n=1000	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
出現“7”的頻數	95	88	95	112	95	99	82	89	111	102
出現“7”的頻率	0.095	0.088	0.095	0.112	0.095	0.099	0.082	0.089	0.111	0.102

由上表可見，每1000個隨機數中“7”出現的頻率也穩定在0.1的附近．這就是頻率的穩定性．我們把隨機事件A的頻率P(A)作為隨機事件A的概率P(A)的近似值。

點評：利用概率的統計定義，在計算每一個隨機事件概率時都要通過大量重復的試驗，列出一個表格，從表格中找到某事件出現頻率的近似值作為所求概率。這從某種意義上說是很繁瑣的

題型3：隨機事件間的關系

例5．(2009江西卷文)甲、乙、丙、丁4個足球隊參加比賽，假設每場比賽各隊取勝的概率相等，現任意將這₄個隊分成兩個組(每組兩個隊)進行比賽，勝者再賽，則甲、乙相遇的概率為　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 (　　 )

A．　　　　　　　　　 B．　　　　　　　　　　 C．　　　　　　 D．

[解析]所有可能的比賽分組情況共有種，甲乙相遇的分組情況恰好有6種，故選.　

　　　　　　 答案　 　D

(1)(2009江蘇卷)現有5根竹竿，它們的長度(單位：m)分別為2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若從中一次隨機抽取2根竹竿，則它們的長度恰好相差0.3m的概率為　　　 .

[解析] 考查等可能事件的概率知識。　

從5根竹竿中一次隨機抽取2根的可能的事件總數為10，它們的長度恰好相差0.3m的事件數為2，分別是：2.5和2.8，2.6和2.9，所求概率為0.2。

答案　 0.2

(2)把標號為1，2，3，4的四個小球隨機地分發給甲、乙、丙、丁四個人，每人分得一個。事件“甲分得1號球”與事件“乙分得1號球”是(　 )

　　　 (A)互斥但非對立事件　　　　　　　　　　　　　 (B)對立事件

(C)相互獨立事件　　　　　 　　　　　 (D)以上都不對

答案：A。

點評：一定要區分開對立和互斥的定義，互斥事件：不能同時發生的兩個事件叫做互斥事件；對立事件：不能同時發生，但必有一個發生的兩個事件叫做互斥事件。

例6．15.(2009湖北卷文)甲、乙、丙三人將參加某項測試，他們能達標的概率分別是0.8、0.6、0.5，則三人都達標的概率是　　　　　　 ，三人中至少有一人達標的概率是　　　　　 。

[解析]三人均達標為0.8×0.6×0.5=0.24,三人中至少有一人達標為1-0.24=0.76

答案　 0.24　　　 0.76

點評：本小題考查互斥事件、相互獨立事件的概率等基礎知識，及分析和解決實際問題的能力。

題型4：古典概率模型的計算問題

例7．從含有兩件正品a₁，a₂和一件次品b₁的三件產品中，每次任取一件，每次取出后不放回，連續取兩次，求取出的兩件產品中恰有一件次品的概率

解析：每次取出一個，取后不放回地連續取兩次，其一切可能的結果組成的基本事件有6個，即(a₁，a₂)和，(a₁，b₂)，(a₂，a₁)，(a₂，b₁)，(b₁，a₁)，(b₂，a₂)。其中小括號內左邊的字母表示第1次取出的產品，右邊的字母表示第2次取出的產用A表示“取出的兩種中，恰好有一件次品”這一事件，

則A=[(a₁，b₁)，(a₂，b₁)，(b₁，a₁)，(b₁，a₂)]，

事件A由4個基本事件組成，因而，P(A)==。

點評：利用古典概型的計算公式時應注意兩點：(1)所有的基本事件必須是互斥的；(2)m為事件A所包含的基本事件數，求m值時，要做到不重不漏

例8．現有一批產品共有10件，其中8件為正品，2件為次品：

(1)如果從中取出一件，然后放回，再取一件，求連續3次取出的都是正品的概率；

(2)如果從中一次取3件，求3件都是正品的概率。

分析：(1)為返回抽樣；(2)為不返回抽樣

解析：(1)有放回地抽取3次，按抽取順序(x,y,z)記錄結果，則x,y,z都有10種可能，所以試驗結果有10×10×10=10³種；設事件A為“連續3次都取正品”，則包含的基本事件共有8×8×8=8³種，因此，P(A)= =0.512。

(2)解法1：可以看作不放回抽樣3次，順序不同，基本事件不同，按抽取順序記錄(x,y,z)，則x有10種可能，y有9種可能，z有8種可能，所以試驗的所有結果為10×9×8=720種．設事件B為“3件都是正品”，則事件B包含的基本事件總數為8×7×6=336, 所以P(B)= ≈0.467。

解法2：可以看作不放回3次無順序抽樣，先按抽取順序(x,y,z)記錄結果，則x有10種可能，y有9種可能，z有8種可能，但(x,y,z)，(x,z,y)，(y,x,z)，(y,z,x)，(z,x,y)，(z,y,x)，是相同的，所以試驗的所有結果有10×9×8÷6=120，按同樣的方法，事件B包含的基本事件個數為8×7×6÷6=56，因此P(B)= ≈0.467。

點評：關于不放回抽樣，計算基本事件個數時，既可以看作是有順序的，也可以看作是無順序的，其結果是一樣的，但不論選擇哪一種方式，觀察的角度必須一致，否則會導致錯誤

題型5：利用排列組合知識解古典概型問題

例9．(2008四川理)

從甲、乙等10個同學中挑選4名參加某項公益活動，要求甲、乙中至少有1人參加，則不同的挑選方法共有( C )

　(A)種　　　(B)種　　　(C)種　　(D)種

[解]：∵從10個同學中挑選4名參加某項公益活動有種不同挑選方法；

　　　　 從甲、乙之外的8個同學中挑選4名參加某項公益活動有種不同挑選方法；

∴甲、乙中至少有1人參加，則不同的挑選方法共有種不同挑選方法　 故選C；

[考點]：此題重點考察組合的意義和組合數公式；

[突破]：從參加 “某項”切入，選中的無區別，從而為組合問題；由“至少”從反面排除易于解決；

點評：該題通過排列、組合知識完成了古典概型的計算問題，同時要做到所有的基本事件必須是互斥的，要做到不重不漏。

例10．在添加劑的搭配使用中，為了找到最佳的搭配方案，需要對各種不同的搭配方式作比較。在試制某種牙膏新品種時，需要選用兩種不同的添加劑。現有芳香度分別為0，1，2，3，4，5的六種添加劑可供選用。根據試驗設計原理，通常首先要隨機選取兩種不同的添加劑進行搭配試驗

(Ⅰ)求所選用的兩種不同的添加劑的芳香度之和等于4的概率；

(Ⅱ)求所選用的兩種不同的添加劑的芳香度之和不小于3的概率；

解析：設“所選用的兩種不同的添加劑的芳香度之和等于4”的事件為A，“所選用的兩種不同的添加劑的芳香度之和不小于3”的事件為B

(Ⅰ)芳香度之和等于4的取法有2種：、，故。

(Ⅱ)芳香度之和等于1的取法有1種：；芳香度之和等于2的取法有1種：，故。

點評：高考對概率內容的考查，往往以實際應用題出現。這既是這類問題的特點，也符合高考發展方向，考生要以課本概念和方法為主，以熟練技能，鞏固概念為目標，查找知識缺漏，總結解題規律

題型6：易錯題辨析

例11．擲兩枚骰子，求所得的點數之和為6的概率

錯解：擲兩枚骰子出現的點數之和不同情況為{2，3，4，…，12}，故共有11種基本事件，所以概率為P=；

剖析：以上11種基本事件不是等可能的，如點數和2只有(1，1)，而點數之和為6有(1，5)、(2，4)、(3，3)、(4，2)、(5，1)共5種．事實上，擲兩枚骰子共有36種基本事件，且是等可能的，所以“所得點數之和為6”的概率為P=。

我們經常見的錯里還有“投擲兩枚硬幣的結果”，劃分基本事件“兩正、一正一反、兩反”，其中“一正一反”與“兩正”、“兩反”的機會是不均等

類型四：基本事件 “不可數”

由概率求值公式，求某一事件發生的概率時，要求試驗中所有可能出現的基本事件只有有限個

如果試驗所包含的基本事件是無限多個，那根本就不會得到基本事件的總數，也就不能用公式來解決問題

例12．

甲、乙二人參加普法知識競賽，共有10個不同的題目，其中選擇題6個，判斷題4個，甲、乙二人一次各抽取一題，

(1)甲抽到選擇題，乙抽到判斷題的概率是多少？

錯解：甲從選擇題中抽到一題的可能結果有個，乙從判斷題中抽到一題的的可能結果是，故甲抽到選擇題，乙抽到判斷題的可能結果為；又甲、乙二人一次各抽取一題的結果有，所以概率值為。

剖析：錯把分步原理當作分類原理來處理。

正解：甲從選擇題中抽到一題的可能結果有個，乙從判斷題中抽到一題的的可能結果是，故甲抽到選擇題，乙抽到判斷題的可能結果為；又甲、乙二人一次各抽取一題的結果有，所以概率值為。

(2)甲、乙二人至少有一個抽到選擇題的概率是多少？

錯解：甲、乙中甲抽到判斷題的種數是6×9種，乙抽到判斷題的種數6×9種，故甲、乙二人至少有一個抽到選擇題的種數為12×9；又甲、乙二人一次各抽取一題的種數是10×9，故甲、乙二人至少有一個抽到選擇題的概率是。

剖析：顯然概率值不會大于1，這是錯解。該問題對甲、乙二人至少有一個抽到選擇題的計數是重復的，兩人都抽取到選擇題這種情況被重復計數

正解：甲、乙二人一次各抽取一題基本事件的總數是10×9=90；

方法一：分類計數原理

(1)只有甲抽到了選擇題的事件數是：6×4=24；

(2)只有乙抽到了選擇題的事件數是：6×4=24；

(3)甲、乙同時抽到選擇題的事件數是：6×5=30；

故甲、乙二人至少有一個抽到選擇題的概率是。

方法二：利用對立事件

事件“甲、乙二人至少有一個抽到選擇題”與事件“甲、乙兩人都未抽到選擇題”是對立事件

事件“甲、乙兩人都未抽到選擇題”的基本事件個數是4×3=12；

故甲、乙二人至少有一個抽到選擇題的概率是。

例14(2009陜西卷文)(本小題滿分12分)

椐統計，某食品企業一個月內被消費者投訴的次數為0,1,2的概率分別為0.4,0.5,0.1

(Ⅰ) 求該企業在一個月內共被消費者投訴不超過1次的概率；

(Ⅱ)假設一月份與二月份被消費者投訴的次數互不影響,求該企業在這兩個月內共被消費者投訴2次的概率

解　 解答1(Ⅰ)設事件A表示“一個月內被投訴的次數為0”事件B表示“一個月內被投訴的次數為1”

所以

(Ⅱ)設事件表示“第個月被投訴的次數為0”事件表示“第個月被投訴的次數為1”事件表示“第個月被投訴的次數為2”事件D表示“兩個月內被投訴2次”

所以

所以兩個月中，一個月被投訴2次，另一個月被投訴0次的概率為

5．古典概型

(1)古典概型的兩大特點：1)試驗中所有可能出現的基本事件只有有限個；2)每個基本事件出現的可能性相等；

(2)古典概型的概率計算公式：P(A)=；

一次試驗連同其中可能出現的每一個結果稱為一個基本事件,通常此試驗中的某一事件A由幾個基本事件組成.如果一次試驗中可能出現的結果有n個,即此試驗由n個基本事件組成,而且所有結果出現的可能性都相等,那么每一基本事件的概率都是。如果某個事件A包含的結果有m個,那么事件A的概率P(A)=。

4．事件間的運算

(1)并事件(和事件)

若某事件的發生是事件A發生或事件B發生，則此事件稱為事件A與事件B的并事件。

注：當A和B互斥時，事件A+B的概率滿足加法公式：

P(A+B)=P(A)+P(B)(A、B互斥)；且有P(A+)=P(A)+P()=1。

(2)交事件(積事件)

若某事件的發生是事件A發生和事件B同時發生，則此事件稱為事件A與事件B的交事件

3．事件間的關系

(1)互斥事件：不能同時發生的兩個事件叫做互斥事件；

(2)對立事件：不能同時發生，但必有一個發生的兩個事件叫做互斥事件；

(3)包含：事件A發生時事件B一定發生，稱事件A包含于事件B(或事件B包含事件A)；

2．隨機事件的概率

事件A的概率：在大量重復進行同一試驗時,事件A發生的頻率總接近于某個常數，在它附近擺動，這時就把這個常數叫做事件A的概率,記作P(A)。

由定義可知0≤P(A)≤1，顯然必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0。

1．隨機事件的概念

在一定的條件下所出現的某種結果叫做事件。

(1)隨機事件：在一定條件下可能發生也可能不發生的事件；

(2)必然事件：在一定條件下必然要發生的事件；

(3)不可能事件：在一定條件下不可能發生的事件

本講內容在高考中所占比重不大，縱貫近幾年的高考形式對涉及到有關概念的某些計算要求降低，但試題中具有一定的靈活性、機動性

預測2011年高考：

(1)對于理科生來講，對隨機事件的考察，結合選修中排列、組合的知識進行考察，多以選擇題、填空題形式出現；

(2)對概率考察的重點為互斥事件、古典概型的概率事件的計算為主，而以實際應用題出現的形式多以選擇題、填空題為主

3．通過實例，理解古典概型及其概率計算公式，會用列舉法計算一些隨機事件所含的基本事件數及事件發生的概率。