114．證明平面與平面的垂直的思考途徑
(1)轉化為判斷二面角是直二面角；
(2)轉化為線面垂直.
113．證明直線與平面垂直的思考途徑
(1)轉化為該直線與平面內任一直線垂直；
(2)轉化為該直線與平面內相交二直線垂直；
(3)轉化為該直線與平面的一條垂線平行；
(4)轉化為該直線垂直于另一個平行平面；
(5)轉化為該直線與兩個垂直平面的交線垂直.
112．證明直線與直線的垂直的思考途徑
(1)轉化為相交垂直；
(2)轉化為線面垂直；
(3)轉化為線與另一線的射影垂直；
(4)轉化為線與形成射影的斜線垂直.
111．證明平面與平面平行的思考途徑
(1)轉化為判定二平面無公共點；
(2)轉化為線面平行；
(3)轉化為線面垂直.
110．證明直線與平面的平行的思考途徑
(1)轉化為直線與平面無公共點；
(2)轉化為線線平行；
(3)轉化為面面平行.
109．證明直線與直線的平行的思考途徑
(1)轉化為判定共面二直線無交點；
(2)轉化為二直線同與第三條直線平行；
(3)轉化為線面平行；
(4)轉化為線面垂直；
(5)轉化為面面平行.
91.圓的切線方程
(1)已知圓
．
①若已知切點
在圓上，則切線只有一條，其方程是
.
當圓外時, 表示過兩個切點的切點弦方程．
②過圓外一點的切線方程可設為
，再利用相切條件求k，這時必有兩條切線，注意不要漏掉平行于y軸的切線．
③斜率為k的切線方程可設為
，再利用相切條件求b，必有兩條切線．
(2)已知圓
．
①過圓上的
點的切線方程為
;
②斜率為
的圓的切線方程為
.
橢圓
l
橢圓
的參數方程是
.
l
橢圓焦半徑公式
，
,
l
焦點三角形：P為橢圓上一點，則三角形
的面積S=
特別地，若
此三角形面積為
；
l
在橢圓上存在點P，使
的條件是c≥b,即橢圓的離心率e的范圍是
；
l 橢圓的的內外部
(1)點
在橢圓的內部
.
(2)點在橢圓的外部
.
l 橢圓的切線方程
(1)橢圓上一點處的切線方程是
.
(2)過橢圓外一點所引兩條切線的切點弦方程是.
(3)橢圓與直線
相切的條件是
.雙曲線
l
雙曲線
的焦半徑公式
，
.
l 雙曲線的內外部
(1)點在雙曲線的內部
.
(2)點在雙曲線的外部
.
l 雙曲線的方程與漸近線方程的關系
(1)若雙曲線方程為
漸近線方程：
.
(2)若漸近線方程為
雙曲線可設為
.
(3)若雙曲線與有公共漸近線，可設為(
，焦點在x軸上，
，焦點在y軸上).
l 雙曲線的切線方程
(1)雙曲線
上一點處的切線方程是
.
(2)過雙曲線外一點所引兩條切線的切點弦方程是
.
(3)雙曲線與直線相切的條件是
.
l 焦點到漸近線的距離等于虛半軸的長度(即b值)
拋物線
l 焦點與半徑
l 焦半徑公式
拋物線
，C 為拋物線上一點，焦半徑
.
過焦點弦長
.對焦點在y軸上的拋物線有類似結論。
l 設點方法
拋物線
上的動點可設為P
或
P
，其中
.
l 二次函數
的圖象是拋物線：
(1)頂點坐標為
；
(2)焦點的坐標為
；
(3)準線方程是
.
l 拋物線的內外部
(1)點在拋物線的內部
.
點在拋物線的外部
.
(2)點在拋物線
的內部
.
點在拋物線的外部
.
(3)點在拋物線
的內部
.
點在拋物線的外部
.
(4) 點在拋物線的內部.
點在拋物線
的外部
.
l 拋物線的切線方程
(1)拋物線上一點處的切線方程是
.
(2)過拋物線外一點所引兩條切線的切點弦方程是
.
(3)拋物線與直線相切的條件是
.
l
過拋物線(p>0)的焦點F的直線與拋物線相交于
圓錐曲線共性問題
l 兩個常見的曲線系方程
(1)過曲線
,
的交點的曲線系方程是
(
為參數).
(2)共焦點的有心圓錐曲線系方程
,其中
.當
時,表示橢圓; 當
時,表示雙曲線.
l 直線與圓錐曲線相交的弦長公式
或
(弦端點A
由方程
消去y得到
，
,
為直線
的傾斜角，為直線的斜率).
l
涉及到曲線上的 點A，B及線段AB的中點M的關系時，可以利用“點差法：，比如在橢圓中：
l 圓錐曲線的兩類對稱問題
(1)曲線
關于點成中心對稱的曲線是
.
(2)曲線關于直線成軸對稱的曲線是
.
l “四線”一方程
對于一般的二次曲線
，用
代
，用
代
，用
代
，用
代
，用
代
即得方程
，曲線的切線，切點弦，中點弦，弦中點方程均是此方程得到.立體幾何
85. 
或
所表示的平面區域
設曲線
(
)，則
或所表示的平面區域是：
所表示的平面區域上下兩部分；
所表示的平面區域上下兩部分.圓
l 圓的四種方程
(1)圓的標準方程 
.
(2)圓的一般方程 (
＞0).
(3)圓的參數方程 
.
(4)圓的直徑式方程 
(圓的直徑的端點是
、
).
l 圓系方程
(1)過點,的圓系方程是
,其中
是直線的方程,λ是待定的系數．
(2)過直線
:與圓
:的交點的圓系方程是
,λ是待定的系數．
(3) 過圓
:
與圓
:
的交點的圓系方程是
,λ是待定的系數．
l 點與圓的位置關系
點與圓
的位置關系有三種
若
，則
點
在圓外;
點在圓上;
點在圓內.
l 直線與圓的位置關系
直線
與圓的位置關系有三種:
;
;
.
其中
.
l 兩圓位置關系的判定方法
設兩圓圓心分別為O1，O2，半徑分別為r1，r2，
;
;
;
;
.
75.無理不等式
(1)
.
(2)
.
(3)
.
l 指數不等式與對數不等式
(1)當
時,
;
.
(2)當
時,
;
直線方程
l 斜率公式
①
(
、
).② k=tanα(α為直線傾斜角)
l 直線的五種方程
(1)點斜式 
(直線過點，且斜率為)．
(2)斜截式 (b為直線在y軸上的截距).
(3)兩點式 
(
)(、 (
)).
(4)截距式 
(
分別為直線的橫、縱截距，
)
(5)一般式 (其中A、B不同時為0).
l 兩條直線的平行和垂直
(1)若
，
①
;
②
.
(2)若
,
,且A1、A2、B1、B2都不為零,
①
；
②兩直線垂直的充要條件是 
；即：
l 夾角公式
(1)
.
(，,
)
(2)
.
(,,
).
直線
時，直線l1與l2的夾角是
.
l
到
的角公式
(1)
.
(，,)
(2)
.
(,,).
直線時，直線l1到l2的角是.
l 四種常用直線系方程
(1)定點直線系方程：經過定點的直線系方程為(除直線
),其中是待定的系數; 經過定點的直線系方程為
,其中
是待定的系數．
(2)共點直線系方程：經過兩直線,的交點的直線系方程為
(除)，其中λ是待定的系數．
(3)平行直線系方程：直線中當斜率k一定而b變動時，表示平行直線系方程．與直線平行的直線系方程是
(
)，λ是參變量．
(4)垂直直線系方程：與直線 (A≠0，B≠0)垂直的直線系方程是
,λ是參變量．
l 點到直線的距離
(點,直線：).
l
或所表示的平面區域
設直線
，若A>0,則在坐標平面內從左至右的區域依次表示 
，，若A<0,則在坐標平面內從左至右的區域依次表示 ，，可記為“x 為正開口對，X為負背靠背“。(正負指X的系數A，開口對指”<>"，背靠背指"><")
39.數列的同項公式與前n項的和的關系
( 數列
的前n項的和為
)
數列
l
等差數列的通項公式
；
其前n項和公式為
.
l
等比數列的通項公式
；
其前n項的和公式為
或
.
l
等比差數列
:
的通項公式為
；
其前n項和公式為
.
l 分期付款(按揭貸款)
每次還款
元(貸款
元,
次還清,每期利率為
).
三角函數
l 常見三角不等式
(1)若
，則
.(2) 若，則
.
(3) 
.
l 同角三角函數的基本關系式
，
=
，
.
l 正弦、余弦的誘導公式
l 和角與差角公式
;
;
.
(平方正弦公式);
.
=
(輔助角
所在象限由點
的象限決定,
).
l
半角正余切公式：
l 二倍角公式
.
.
.
l 三倍角公式
.
.
.
l 三角函數的周期公式
函數
，x∈R及函數
，x∈R(A,ω,為常數，且A≠0，ω＞0)的周期
；函數
，
(A,ω,為常數，且A≠0，ω＞0)的周期
.
l
正弦定理 
.
l 余弦定理
;
;
.
l 面積定理
(1)
(
分別表示a、b、c邊上的高).
(2)
.
(3)
.
l 三角形內角和定理
在△ABC中，有
.
l 在三角形中有下列恒等式：
① 
②
l 簡單的三角方程的通解
.
.
.
特別地,有
.
.
.
l 最簡單的三角不等式及其解集
.
.
.
.
.
.
l
角的變形：
向量
l 實數與向量的積的運算律
設λ、μ為實數，那么
(1) 結合律：λ(μa)=(λμ)a;
(2)第一分配律：(λ+μ)a=λa+μa;(3)第二分配律：λ(a+b)=λa+λb.
l 向量的數量積的運算律：
(1) a·b= b·a (交換律);(2)(a)·b= (a·b)=a·b= a·(b);
(3)(a+b)·c= a ·c +b·c.
l 平面向量基本定理
如果e1、e 2是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任一向量，有且只有一對實數λ1、λ2，使得a=λ1e1+λ2e2．
不共線的向量e1、e2叫做表示這一平面內所有向量的一組基底．
l 向量平行的坐標表示
設a=
,b=
，且b
0，則a
b(b0)
.
l a與b的數量積(或內積)
a·b=|a||b|cosθ．
l a·b的幾何意義
數量積a·b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘積．
l 平面向量的坐標運算
(1)設a=,b=，則a+b=
.
(2)設a=,b=，則a-b=
.
(3)設A，B,則
.
(4)設a=
，則a=
.
(5)設a=,b=，則a·b=
.
l 兩向量的夾角公式
(a=,b=).
l 平面兩點間的距離公式
=
(A，B).
l 向量的平行與垂直
設a=,b=，且b0，則
A||bb=λa .
a
b(a0)a·b=0
.
l 線段的定比分公式
設，，
是線段
的分點,是實數，且
，則
(
).
l 三角形的重心坐標公式
△ABC三個頂點的坐標分別為
、
、
,則△ABC的重心的坐標是
.
l 點的平移公式
.
注:圖形F上的任意一點P(x，y)在平移后圖形
上的對應點為
，且
的坐標為
.
l “按向量平移”的幾個結論
(1)點按向量a=平移后得到點
.
(2) 函數
的圖象按向量a=平移后得到圖象
,則的函數解析式為
.
(3) 圖象按向量a=平移后得到圖象,若的解析式,則的函數解析式為
.
(4)曲線:
按向量a=平移后得到圖象,則的方程為
.
(5) 向量m=
按向量a=平移后得到的向量仍然為m=.
l 三角形五“心”向量形式的充要條件
設
為
所在平面上一點，角
所對邊長分別為
，則
(1)為的外心
.
(2)為的重心
.
(3)為的垂心
.
(4)為的內心
.
(5)為的
的旁心
.
不等式
l 常用不等式：
(1)
(當且僅當a＝b時取“=”號)．
(2)
(當且僅當a＝b時取“=”號)．
(3)
(4)柯西不等式
(5)
.
l 極值定理
已知
都是正數，則有
(1)若積是定值
，則當
時和
有最小值
；
(2)若和是定值
，則當時積有最大值
.
推廣 已知
，則有
(1)若積是定值,則當
最大時,
最大；
當最小時,最小.
(2)若和是定值,則當最大時, 
最小；
當最小時, 最大.
l
一元二次不等式
，如果與
同號，則其解集在兩根之外；如果與異號，則其解集在兩根之間.簡言之：同號兩根之外，異號兩根之間.
；
.
l 含有絕對值的不等式
當a> 0時，有
.
或
.
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