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(17)(本小題滿分12分)　 　　　　

如圖，為了解某海域海底構(gòu)造，在海平面內(nèi)一條直線上的A，B，C三點(diǎn)進(jìn)行測(cè)量，已知，，于A處測(cè)得水深，于B處測(cè)得水深，于C處測(cè)得水深，求∠DEF的余弦值。　　　　　　　 　 　　　　　

(18)(本小題滿分12分)

如圖，在三棱錐中，⊿是等邊三角形，∠PAC=∠PBC=90 º

(Ⅰ)證明：AB⊥PC

(Ⅱ)若，且平面⊥平面，　　　

求三棱錐體積。

(19)(本小題滿分12分)

　 某工廠有工人1000名，其中250名工人參加過(guò)短期培訓(xùn)(稱(chēng)為A類(lèi)工人)，另外750名工人參加過(guò)長(zhǎng)期培訓(xùn)(稱(chēng)為B類(lèi)工人).現(xiàn)用分層抽樣方法(按A類(lèi)，B類(lèi)分二層)從該工廠的工人中共抽查100名工人，調(diào)查他們的生產(chǎn)能力(生產(chǎn)能力指一天加工的零件數(shù)).

(Ⅰ)A類(lèi)工人中和B類(lèi)工人各抽查多少工人？

(Ⅱ)從A類(lèi)工人中抽查結(jié)果和從B類(lèi)工人中的抽查結(jié)果分別如下表1和表2

表1：

生產(chǎn)能力分組
人數(shù)	4	8		5	3

表2：

生產(chǎn)能力分組
人數(shù)	6	y	36	18

(1)　　　 先確定，再在答題紙上完成下列頻率分布直方圖。就生產(chǎn)能力而言，A類(lèi)工人中個(gè)體間的差異程度與B類(lèi)工人中個(gè)體間的差異程度哪個(gè)更小？(不用計(jì)算，可通過(guò)觀察直方圖直接回答結(jié)論)

(ii)分別估計(jì)類(lèi)工人和類(lèi)工人生產(chǎn)能力的平均數(shù)，并估計(jì)該工廠工人和生產(chǎn)能力的平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)。

(20)(本小題滿分12分)

已知橢圓的中心為直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，它的一個(gè)項(xiàng)點(diǎn)到兩個(gè)

焦點(diǎn)的距離分別是7和1

(I)　　　　　　　　　　 求橢圓的方程‘

(II)　　　　　　　　　 若為橢圓的動(dòng)點(diǎn)，為過(guò)且垂直于軸的直線上的點(diǎn)，

(e為橢圓C的離心率)，求點(diǎn)的軌跡方程，并說(shuō)明軌跡是什么曲線。

(21)(本小題滿分12分)

已知函數(shù).

(1)　 設(shè)，求函數(shù)的極值；

(2)　 若，且當(dāng)時(shí)，12a恒成立，試確定的取值范圍.

請(qǐng)考生在第(22)、(23)、(24)三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分。作答時(shí)用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對(duì)應(yīng)的題號(hào)涂黑。　 　　　　

(22)(本小題滿分10分)選修4-1；幾何證明選講

如圖，已知ABC中的兩條角平分線和相交于，B=60，在上，且。　 　　　　

(1)證明：四點(diǎn)共圓；

　　　　 (2)證明：CE平分DEF。

　(23)(本小題滿分10分)選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程。

　　 已知曲線C： (t為參數(shù))， C：(為參數(shù))。

(1)化C，C的方程為普通方程，并說(shuō)明它們分別表示什么曲線；

(2)若C上的點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的參數(shù)為，Q為C上的動(dòng)點(diǎn)，求中點(diǎn)到直線

　 (t為參數(shù))距離的最小值。　 　　　　

(24)(本小題滿分10分)選修4-5：不等式選講

如圖，為數(shù)軸的原點(diǎn)，為數(shù)軸上三點(diǎn)，為線段上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)表示與原點(diǎn)的距離， 表示到距離4倍與到距離的6倍的和.

(1)將表示為的函數(shù)；

(2)要使的值不超過(guò)70， 應(yīng)該在什么范圍內(nèi)取值？

2009年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試

22、解析：(I)因，，因在區(qū)間上不單調(diào)，所以在上有實(shí)數(shù)解，且無(wú)重根，由得 　 　

，令有，記則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以有，于是，得，而當(dāng)時(shí)有在上有兩個(gè)相等的實(shí)根，故舍去，所以；　 　

(II)當(dāng)時(shí)有；

當(dāng)時(shí)有，因?yàn)楫?dāng)時(shí)不合題意，因此，

下面討論的情形，記A，B=(ⅰ)當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，所以要使成立，只能且，因此有，(ⅱ)當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，所以要使成立，只能且，因此，綜合(ⅰ)(ⅱ)；

當(dāng)時(shí)A=B，則，即使得成立，因?yàn)?sub>在上單調(diào)遞增，所以的值是唯一的；

同理，，即存在唯一的非零實(shí)數(shù)，要使成立，所以滿足題意．　 　

21、解析：(I)由題意得所求的橢圓方程為，　 　

(II)不妨設(shè)則拋物線在點(diǎn)P處的切線斜率為，直線MN的方程為，將上式代入橢圓的方程中，得，即，因?yàn)橹本�MN與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以有，

設(shè)線段MN的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，則，　 　

設(shè)線段PA的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，則，由題意得，即有，其中的或；

當(dāng)時(shí)有，因此不等式不成立；因此，當(dāng)時(shí)代入方程得，將代入不等式成立，因此的最小值為1．

20、證明：(I)如圖，連結(jié)OP，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)B、OC、OP所在直線為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系O，　 　

則，由題意得，因，因此平面BOE的法向量為，得，又直線不在平面內(nèi)，因此有平面

(II)設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為，則，因?yàn)?sub>平面BOE，所以有，因此有，即點(diǎn)M的坐標(biāo)為，在平面直角坐標(biāo)系中，的內(nèi)部區(qū)域滿足不等式組，經(jīng)檢驗(yàn)，點(diǎn)M的坐標(biāo)滿足上述不等式組，所以在內(nèi)存在一點(diǎn)，使平面，由點(diǎn)M的坐標(biāo)得點(diǎn)到，的距離為．　 　

19、解析：(I)記“這3個(gè)數(shù)恰有一個(gè)是偶數(shù)”為事件A，則；　 　

(II)隨機(jī)變量的取值為的分布列為

	0	1	2
P

所以的數(shù)學(xué)期望為 　 　

18、解析：(I)因?yàn)?sub>，，又由，得， 　 　

(II)對(duì)于，又，或，由余弦定理得， 　 　

17、答案：

　[解析]此題的破解可采用二個(gè)極端位置法，即對(duì)于F位于DC的中點(diǎn)時(shí)，，隨著F點(diǎn)到C點(diǎn)時(shí)，因平面，即有，對(duì)于，又，因此有，則有，因此的取值范圍是 　 　

16、答案：336　

[解析]對(duì)于7個(gè)臺(tái)階上每一個(gè)只站一人，則有種；若有一個(gè)臺(tái)階有2人，另一個(gè)是1人，則共有種，因此共有不同的站法種數(shù)是336種．　 　

15、答案：

[解析]這是一種需類(lèi)比推理方法破解的問(wèn)題，結(jié)論由二項(xiàng)構(gòu)成，第二項(xiàng)前有，二項(xiàng)指數(shù)分別為，因此對(duì)于，

14、答案：

[解析]對(duì)于應(yīng)付的電費(fèi)應(yīng)分二部分構(gòu)成，高峰部分為；對(duì)于低峰部分為，二部分之和為