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5．已知等比數列的公比為正數，且，，則

　A．　 　 B．　　 　C． 　　　D．

4．若函數是函數的反函數，且，則

　 A．　　 B．　　 C． 　　　D．

3．已知平面向量a =(x，1)，b =(-x，x² )，則向量a+b

　 A．平行于x軸　　　　　 　B．平行于第一、三象限的角平分線

　 C．平行于y軸　　　　　　 D．平行于第二、四象限的角平分線

2．下列n的取值中，使iⁿ =1(i是虛數單位)的是

　A．n=2　 　　B．n=3　 　　C．n=4　 　　D．n=5

1．已知全集U=R，則正確表示集合M={-1，0，1}和N={}關系的韋恩(Venn)圖是

22. (本小題滿分14分)

設,在平面直角坐標系中,已知向量,向量,,動點的軌跡為E.

(1)求軌跡E的方程,并說明該方程所表示曲線的形狀;

(2)已知,證明:存在圓心在原點的圓,使得該圓的任意一條切線與軌跡E恒有兩個交點A,B,且(O為坐標原點),并求出該圓的方程;

(3)已知,設直線與圓C:(1<R<2)相切于A₁,且與軌跡E只有一個公共點B₁,當R為何值時,|A₁B₁|取得最大值?并求最大值.

解:(1)因為,,,

所以,　　 即.

當m=0時,方程表示兩直線,方程為;

當時, 方程表示的是圓

當且時,方程表示的是橢圓;

當時,方程表示的是雙曲線.

(2).當時, 軌跡E的方程為,設圓心在原點的圓的一條切線為,解方程組得,即,

要使切線與軌跡E恒有兩個交點A,B,

則使△=,

即,即,　　 　且

,

要使,　 需使,即,

所以,　 即且,　 即恒成立.

所以又因為直線為圓心在原點的圓的一條切線,

所以圓的半徑為,, 所求的圓為.

當切線的斜率不存在時,切線為,與交于點或也滿足.

綜上, 存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,且.

(3)當時,軌跡E的方程為,設直線的方程為,因為直線與圓C:(1<R<2)相切于A₁, 由(2)知,　 即　　 ①,

因為與軌跡E只有一個公共點B₁,

由(2)知得,

即有唯一解

則△=,　　 即,　　 ②

由①②得,　 此時A,B重合為B₁(x₁,y₁)點,

由 中,所以,,

B₁(x₁,y₁)點在橢圓上,所以,所以,

在直角三角形OA₁B₁中,因為當且僅當時取等號,所以,即

當時|A₁B₁|取得最大值,最大值為1.

徐洪艷制作

21.(本小題滿分12分)

已知函數,其中 　 　

(1)　　　 當滿足什么條件時,取得極值?

(2)　　　 已知,且在區間上單調遞增,試用表示出的取值范圍.

解:　 (1)由已知得,令,得,

要取得極值,方程必須有解,

所以△,即,　 此時方程的根為

,,

所以 　 　

當時,

所以在x ₁, x₂處分別取得極大值和極小值.

當時, 　 　

所以在x ₁, x₂處分別取得極大值和極小值.

綜上,當滿足時, 取得極值. 　 　

(2)要使在區間上單調遞增,需使在上恒成立.

即恒成立,　 所以

設,,

令得或(舍去), 　 　

當時,,當時,單調增函數;

當時,單調減函數,

所以當時,取得最大,最大值為.

所以

當時,,此時在區間恒成立,所以在區間上單調遞增,當時最大,最大值為,所以

綜上,當時, ;　　 當時, 　 　

20.(本小題滿分12分)

等比數列{}的前n項和為， 已知對任意的　 ，點，均在函數且均為常數)的圖像上. 　 　

(1)求r的值；　　　

(11)當b=2時，記　 　　求數列的前項和

解:因為對任意的,點，均在函數且均為常數)的圖像上.所以得,

當時,, 　 　

當時,,

又因為{}為等比數列,　 所以,　 公比為,　 　所以

(2)當b=2時，,　　

則

相減,得

所以

19. (本小題滿分12分)

　 一汽車廠生產A,B,C三類轎車,每類轎車均有舒適型和標準型兩種型號,某月的產量如下表(單位:輛):

按類型分層抽樣的方法在這個月生產的轎車中抽取50輛,其中有A類轎車10輛.

(1)　　　 求z的值. 　 　

(2)　　　 用分層抽樣的方法在C類轎車中抽取一個容量為5的樣本.將該樣本看成一個總體,從中任取2輛,求至少有1輛舒適型轎車的概率;

(3)　　　 用隨機抽樣的方法從B類舒適型轎車中抽取8輛,經檢測它們的得分如下:9.4,　 8.6, 9.2,　 9.6,　 8.7,　 9.3,　 9.0,　 8.2.把這8輛轎車的得分看作一個總體,從中任取一個數,求該數與樣本平均數之差的絕對值不超過0.5的概率.

解: (1).設該廠本月生產轎車為n輛,由題意得,,所以n=2000. z=2000-100-300-150-450-600=400

(2) 設所抽樣本中有m輛舒適型轎車,因為用分層抽樣的方法在C類轎車中抽取一個容量為5的樣本,所以,解得m=2也就是抽取了2輛舒適型轎車,3輛標準型轎車,分別記作S₁,S₂;B_1,B₂,B₃,則從中任取2輛的所有基本事件為(S₁, B₁), (S₁, B₂) , (S₁, B₃) (S₂ ,B₁), (S₂ ,B₂), (S₂ ,B₃),( (S₁, S₂),(B₁ ,B₂), (B₂ ,B₃) ,(B₁ ,B₃)共10個,其中至少有1輛舒適型轎車的基本事件有7個基本事件: (S₁, B₁), (S₁, B₂) , (S₁, B₃) (S₂ ,B₁), (S₂ ,B₂), (S₂ ,B₃),( (S₁, S₂),所以從中任取2輛,至少有1輛舒適型轎車的概率為.

(3)樣本的平均數為,

那么與樣本平均數之差的絕對值不超過0.5的數為9.4,　 8.6,　 9.2,　 8.7,　 9.3,　 9.0這6個數,總的個數為8,所以該數與樣本平均數之差的絕對值不超過0.5的概率為.

18.(本小題滿分12分)

　　 如圖，在直四棱柱ABCD-ABCD中，底面ABCD為等腰梯形，AB//CD，AB=4, BC=CD=2,　 AA=2,　 E、E分別是棱AD、AA的中點. 　 　

(1)　　　 設F是棱AB的中點,證明：直線EE//平面FCC；

(2)　　　 證明:平面D₁AC⊥平面BB₁C₁C.

證明:(1)在直四棱柱ABCD-ABCD中，取A₁B₁的中點F₁，

連接A₁D，C₁F₁，CF₁，因為AB=4, CD=2,且AB//CD，

所以CDA₁F₁，A₁F₁CD為平行四邊形，所以CF₁//A₁D，

又因為E、E分別是棱AD、AA的中點，所以EE₁//A₁D，

所以CF₁//EE₁，又因為平面FCC，平面FCC，

所以直線EE//平面FCC.

(2)連接AC,在直棱柱中，CC₁⊥平面ABCD,AC平面ABCD,

所以CC₁⊥AC,因為底面ABCD為等腰梯形，AB=4, BC=2,

　F是棱AB的中點,所以CF=CB=BF，△BCF為正三角形，

,△ACF為等腰三角形，且

所以AC⊥BC,　 又因為BC與CC₁都在平面BB₁C₁C內且交于點C,

所以AC⊥平面BB₁C₁C,而平面D₁AC,

所以平面D₁AC⊥平面BB₁C₁C.