5.已知等比數列的公比為正數,且
,
,則
A. B.
C.
D.
4.若函數是函數
的反函數,且
,則
A. B.
C.
D.
3.已知平面向量a =(x,1),b =(-x,x2 ),則向量a+b
A.平行于x軸 B.平行于第一、三象限的角平分線
C.平行于y軸 D.平行于第二、四象限的角平分線
2.下列n的取值中,使in =1(i是虛數單位)的是
A.n=2 B.n=3 C.n=4 D.n=5
1.已知全集U=R,則正確表示集合M={-1,0,1}和N={}關系的韋恩(Venn)圖是
22. (本小題滿分14分)
設,在平面直角坐標系中,已知向量
,向量
,
,動點
的軌跡為E.
(1)求軌跡E的方程,并說明該方程所表示曲線的形狀;
(2)已知,證明:存在圓心在原點的圓,使得該圓的任意一條切線與軌跡E恒有兩個交點A,B,且
(O為坐標原點),并求出該圓的方程;
(3)已知,設直線
與圓C:
(1<R<2)相切于A1,且
與軌跡E只有一個公共點B1,當R為何值時,|A1B1|取得最大值?并求最大值.
解:(1)因為,
,
,
所以, 即
.
當m=0時,方程表示兩直線,方程為;
當時, 方程表示的是圓
當且
時,方程表示的是橢圓;
當時,方程表示的是雙曲線.
(2).當時, 軌跡E的方程為
,設圓心在原點的圓的一條切線為
,解方程組
得
,即
,
要使切線與軌跡E恒有兩個交點A,B,
則使△=,
即,即
, 且
,
要使, 需使
,即
,
所以, 即
且
, 即
恒成立.
所以又因為直線為圓心在原點的圓的一條切線,
所以圓的半徑為,
, 所求的圓為
.
當切線的斜率不存在時,切線為,與
交于點
或
也滿足
.
綜上, 存在圓心在原點的圓,使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,且
.
(3)當時,軌跡E的方程為
,設直線
的方程為
,因為直線
與圓C:
(1<R<2)相切于A1, 由(2)知
, 即
①,
因為與軌跡E只有一個公共點B1,
由(2)知得
,
即有唯一解
則△=, 即
,
②
由①②得, 此時A,B重合為B1(x1,y1)點,
由 中
,所以,
,
B1(x1,y1)點在橢圓上,所以,所以
,
在直角三角形OA1B1中,因為
當且僅當
時取等號,所以
,即
當時|A1B1|取得最大值,最大值為1.
徐洪艷制作
21.(本小題滿分12分)
已知函數,其中
(1) 當滿足什么條件時,
取得極值?
(2) 已知,且
在區間
上單調遞增,試用
表示出
的取值范圍.
解: (1)由已知得,令
,得
,
要取得極值,方程
必須有解,
所以△,即
, 此時方程
的根為
,
,
所以
當時,
x |
(-∞,x1) |
x 1 |
(x1,x2) |
x2 |
(x2,+∞) |
f’(x) |
+ |
0 |
- |
0 |
+ |
f (x) |
增函數 |
極大值 |
減函數 |
極小值 |
增函數 |
所以在x 1,
x2處分別取得極大值和極小值.
當時,
x |
(-∞,x2) |
x 2 |
(x2,x1) |
x1 |
(x1,+∞) |
f’(x) |
- |
0 |
+ |
0 |
- |
f (x) |
減函數 |
極小值 |
增函數 |
極大值 |
減函數 |
所以在x 1,
x2處分別取得極大值和極小值.
綜上,當滿足
時,
取得極值.
(2)要使在區間
上單調遞增,需使
在
上恒成立.
即恒成立, 所以
設,
,
令得
或
(舍去),
當時,
,當
時
,
單調增函數;
當時
,
單調減函數,
所以當時,
取得最大,最大值為
.
所以
當時,
,此時
在區間
恒成立,所以
在區間
上單調遞增,當
時
最大,最大值為
,所以
綜上,當時,
; 當
時,
20.(本小題滿分12分)
等比數列{}的前n項和為
, 已知對任意的
,點
,均在函數
且
均為常數)的圖像上.
(1)求r的值;
(11)當b=2時,記 求數列
的前
項和
解:因為對任意的,點
,均在函數
且
均為常數)的圖像上.所以得
,
當時,
,
當時,
,
又因為{}為等比數列, 所以
, 公比為
, 所以
(2)當b=2時,,
則
相減,得
所以
19. (本小題滿分12分)
一汽車廠生產A,B,C三類轎車,每類轎車均有舒適型和標準型兩種型號,某月的產量如下表(單位:輛):
|
轎車A |
轎車B |
轎車C |
舒適型 |
100 |
150 |
z |
標準型 |
300 |
450 |
600 |
按類型分層抽樣的方法在這個月生產的轎車中抽取50輛,其中有A類轎車10輛.
(1) 求z的值.
(2) 用分層抽樣的方法在C類轎車中抽取一個容量為5的樣本.將該樣本看成一個總體,從中任取2輛,求至少有1輛舒適型轎車的概率;
(3) 用隨機抽樣的方法從B類舒適型轎車中抽取8輛,經檢測它們的得分如下:9.4, 8.6, 9.2, 9.6, 8.7, 9.3, 9.0, 8.2.把這8輛轎車的得分看作一個總體,從中任取一個數,求該數與樣本平均數之差的絕對值不超過0.5的概率.
解: (1).設該廠本月生產轎車為n輛,由題意得,,所以n=2000. z=2000-100-300-150-450-600=400
(2) 設所抽樣本中有m輛舒適型轎車,因為用分層抽樣的方法在C類轎車中抽取一個容量為5的樣本,所以,解得m=2也就是抽取了2輛舒適型轎車,3輛標準型轎車,分別記作S1,S2;B1,B2,B3,則從中任取2輛的所有基本事件為(S1,
B1), (S1, B2) , (S1, B3)
(S2 ,B1), (S2 ,B2), (S2 ,B3),(
(S1, S2),(B1 ,B2), (B2 ,B3)
,(B1 ,B3)共10個,其中至少有1輛舒適型轎車的基本事件有7個基本事件: (S1, B1),
(S1, B2) , (S1, B3) (S2 ,B1),
(S2 ,B2), (S2 ,B3),( (S1,
S2),所以從中任取2輛,至少有1輛舒適型轎車的概率為
.
(3)樣本的平均數為,
那么與樣本平均數之差的絕對值不超過0.5的數為9.4, 8.6, 9.2, 8.7, 9.3, 9.0這6個數,總的個數為8,所以該數與樣本平均數之差的絕對值不超過0.5的概率為.
18.(本小題滿分12分)
如圖,在直四棱柱ABCD-A
B
C
D
中,底面ABCD為等腰梯形,AB//CD,AB=4, BC=CD=2, AA
=2, E、E
分別是棱AD、AA
的中點.
(1) 設F是棱AB的中點,證明:直線EE//平面FCC
;
(2) 證明:平面D1AC⊥平面BB1C1C.
證明:(1)在直四棱柱ABCD-AB
C
D
中,取A1B1的中點F1,
連接A1D,C1F1,CF1,因為AB=4, CD=2,且AB//CD,
所以CDA1F1,A1F1CD為平行四邊形,所以CF1//A1D,
又因為E、E分別是棱AD、AA
的中點,所以EE1//A1D,
所以CF1//EE1,又因為平面FCC
,
平面FCC
,
所以直線EE//平面FCC
.
(2)連接AC,在直棱柱中,CC1⊥平面ABCD,AC
平面ABCD,
所以CC1⊥AC,因為底面ABCD為等腰梯形,AB=4, BC=2,
F是棱AB的中點,所以CF=CB=BF,△BCF為正三角形,
,△ACF為等腰三角形,且
所以AC⊥BC, 又因為BC與CC1都在平面BB1C1C內且交于點C,
所以AC⊥平面BB1C1C,而平面D1AC,
所以平面D1AC⊥平面BB1C1C.
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