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設,在平面直角坐標系中,已知向量,向量,,動點的軌跡為E. (1)求軌跡E的方程,并說明該方程所表示曲線的形狀; (2)已知,證明:存在圓心在原點的圓,使得該圓的任意一條切線與軌跡E恒有兩個交點A,B,且,并求出該圓的方程; (3)已知,設直線與圓C:相切于A1,且與軌跡E只有一個公共點B1,當R為何值時,|A1B1|取得最大值?并求最大值. 解:(1)因為,,, 所以, 即. 當m=0時,方程表示兩直線,方程為; 當時, 方程表示的是圓當且時,方程表示的是橢圓; 當時,方程表示的是雙曲線. (2).當時, 軌跡E的方程為,設圓心在原點的圓的一條切線為,解方程組得,即, 要使切線與軌跡E恒有兩個交點A,B, 則使△=, 即,即, 且 , 要使, 需使,即, 所以, 即且, 即恒成立. 所以又因為直線為圓心在原點的圓的一條切線, 所以圓的半徑為,, 所求的圓為. 當切線的斜率不存在時,切線為,與交于點或也滿足. 綜上, 存在圓心在原點的圓.使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,且. (3)當時,軌跡E的方程為,設直線的方程為,因為直線與圓C:相切于A1, 由(2)知, 即 ①, 因為與軌跡E只有一個公共點B1, 由(2)知得, 即有唯一解則△=, 即, ② 由①②得, 此時A,B重合為B1(x1,y1)點, 由中,所以,, B1(x1,y1)點在橢圓上,所以,所以, 在直角三角形OA1B1中,因為當且僅當時取等號,所以,即當時|A1B1|取得最大值,最大值為1. 徐洪艷制作【查看更多】

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(本小題滿分14分）

在平面直角坐標系中，點、，已知，的垂直平分線交于，當點動點時，點的軌跡圖形設為．