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15、(09全國Ⅱ卷)兩物體甲和乙在同一直線上運動，它們在0-0.4s時間內的v-t圖象如圖所示。若僅在兩物體之間存在相互作用，則物體甲與乙的質量之比和圖中時間t₁分別為

A．和0.30s　　 B．3和0.30s　

C．和0.28s　　 D．3和0.28s

答案B

[解析]本題考查圖象問題.根據速度圖象的特點可知甲做勻加速,乙做勻減速.根據得,根據牛頓第二定律有,得,由,得t=0.3s,B正確.

(09福建卷)(2)一炮艇總質量為M，以速度勻速行駛，從船上以相對海岸的水平速度沿前進方向射出一質量為m的炮彈，發射炮彈后艇的速度為，若不計水的阻力，則下列各關系式中正確的是　　　　 。(填選項前的編號)

①　　　　　　　　　 ② 　　　　③　　　　　　　　　　 ④

(2)動量守恒定律必須相對于同量參考系。本題中的各個速度都是相對于地面的，不需要轉換。發射炮彈前系統的總動量為Mv₀；發射炮彈后，炮彈的動量為mv₀,船的動量為(M-m)v′所以動量守恒定律的表達式為

正確選項為①

21．(09全國Ⅰ卷)質量為M的物塊以速度V運動，與質量為m的靜止物塊發生碰撞，碰撞后兩者的動量正好相等，兩者質量之比M/m可能為

A.2　　　　 B.3 　　　　C.4　　　　 D. 5

答案AB

[解析]本題考查動量守恒.根據動量守恒和能量守恒得設碰撞后兩者的動量都為P,則總動量為2P,根據,以及能量的關系得得,所以AB正確.

2． 人造地球衛星

⑴宇宙速度

第一宇宙速度

，是地球衛星的最小發射速度，也是地球衛星在近地軌道上運行時的速度．

^由得　．

例7、1990年3月，紫金山天文臺將1965年9月20日發現的第2752號小行星命名為吳健雄星，其直徑為32 km，如該小行星的密度和地球相同，則其第一宇宙速度為

　　　 m／s，已知地球半徑R=6400km，地球的第一宇宙速度為8 km／s．(20m／s)

第二宇宙速度的計算

　　 如果人造衛星進入地面附近的軌道速度等于或大于1l.2km／s，就會脫離地球的引力，這個速度稱為第二宇宙速度．

　　 為了用初等數學方法計算第二宇宙速度，設想從地球表面至無窮遠處的距離分成無數小段ab、bc、…，等分點對應的半徑為r₁、r₂…，如下圖所示．

由于每一小段ab、bc、cd…極小，這一小段上的引力可以認為不變．因此把衛星從地表a送到b時，外力克服引力做功

同理，衛星從地表移到無窮遠過程中，各小段上外力做的功分別為

…

把衛星送至無窮遠處所做的總功　　

為了掙脫地球的引力衛星必須具有的動能為

所以

　 　第三宇宙速度的推算

脫離太陽引力的速度稱為第三宇宙速度．因為地球繞太陽運行的速度為v_地＝30km/s，根據推導第二宇宙速度得到的脫離引力束縛的速度等于在引力作用下環繞速度的倍，即

因為人造天體是在地球上，所以只要沿地球運動軌道的方向增加△v＝12.4km／s即可，即需增加動能．所以人造天體需具有的總能量為

得第三宇宙速度

1． 萬有引力定律提供天體做圓周運動的向心力

⑴人造地球衛星的繞行速度、角速度、周期與半徑的關系

①由得　　　r越大，v越小

②由得　　　r越大，ω越小

③由得　　r越大，T越大

例4、土星外層上有一個環。為了判斷它是土星的一部分還是土星的衛星群，可以測量環中各層的線速度a與該l層到土星中心的距離R之間的關系來判斷：　 ( AD )

A．若v∝R，則該層是土星的一部分；　　B．若v²∝R，則該層是土星的衛星群

C．若v∝1／R，則該層是土星的一部分 　 D．若v²∝1／R，則該層是土星的衛星群

⑵求天體質量、密度

由　 　即可求得

注意天體半徑與衛星軌跡半徑區別

⑶人造地球衛星的離心向心問題

例5、在地球大氣層外有很多太空垃圾繞地球做勻速圓周運動，每到太陽活動期，由于受太陽的影響，地球大氣層的厚度開始增加，從而使得部分垃圾進入大氣層，開始做靠近地球的向心運動，產生這一結果的原因是　　 ( C　 )

A．由于太空垃圾受到地球引力減小而導致的向心運動

B．由于太空垃圾受到地球引力增大而導致的向心運動

C．由于太空垃圾受到空氣阻力而導致的向心運動

D．地球引力提供了太空垃圾做圓周運動所需的向心力，故產生向心運動的結果與空氣阻力無關

例6、宇宙飛船要與軌道空間站對接，飛船為了追上軌道空間站　　 ( A )

　 A．只能從較低軌道上加速

　 B．只能從較高軌道上加速

　 C．只能從同空間站同一高度軌道上加速

　 D．無論在什么軌道上，只要加速都行

5．物體在地面上所受的引力與重力的區別和聯系

地球對物體的引力是物體具有重力的根本原因．但重力又不完全等于引力．這是因為地球在不停地自轉，地球上的一切物體都隨著地球自轉而繞地軸做勻速圓周運動，這就需要向心力．這個向心力的方向是垂直指向地軸的，它的大小是，式中的r是物體與地軸的距離，ω是地球自轉的角速度．這個向心力來自哪里?只能來自地球對物體的引力F，它是引力F的一個分力如右圖，引力F的另一個分力才是物體的重力mg．

在不同緯度的地方，物體做勻速圓周運動的角速度ω相同，而圓周的半徑r不同，這個半徑在赤道處最大，在兩極最小(等于零)．緯度為α處的物體隨地球自轉所需的向心力 (R為地球半徑)，由公式可見，隨著緯度升高，向心力將減小，在兩極處Rcosα＝0，f＝0．作為引力的另一個分量，即重力則隨緯度升高而增大．在赤道上，物體的重力等于引力與向心力之差．即．在兩極，引力就是重力．但由于地球的角速度很小，僅為10^－5rad／s數量級，所以mg與F的差別并不很大．

在不考慮地球自轉的條件下，地球表面物體的重力這是一個很有用的結論．

從圖中還可以看出重力mg一般并不指向地心，只有在南北兩極和赤道上重力mg才能向地心．

同樣，根據萬有引力定律知道，在同一緯度，物體的重力和重力加速度g的數值，還隨著物體離地面高度的增加而減小．

若不考慮地球自轉，地球表面處有，可以得出地球表面處的重力加速度．

在距地表高度為h的高空處，萬有引力引起的重力加速度為g＇，由牛頓第二定律可得：

　即

如果在h＝R處，則g＇＝g／4．在月球軌道處，由于r＝60R，所以重力加速度g＇＝ g／3600．

重力加速度隨高度增加而減小這一結論對其他星球也適用．

例3、某行星自轉一周所需時間為地球上的6h，在這行星上用彈簧秤測某物體的重量，在該行量赤道上稱得物重是兩極時測得讀數的90%，已知萬有引力恒量G＝6.67×10^－11N·m²／kg²，若該行星能看做球體，則它的平均密度為多少?

[解析]在兩極，由萬有引力定律得　　　 ①

在赤道　 ②

依題意mg＇=O.9mg　　 ③

由式①②③和球體積公式聯立解得

4．注意領會卡文迪許實驗設計的巧妙方法．

由萬有引力定律表達式可知，，要測定引力常量G，只需測出兩物體m₁、m₂間距離r及它們間萬有引力F即可．由于一般物體間的萬有引力F非常小，很難用實驗的方法顯示并測量出來，所以在萬有引力定律發現后的百余年間，一直沒有測出引力常量的準確數值．

卡文迪許巧妙的扭秤實驗通過多次“放大”的辦法解決了這一問題．圖是卡文迪許實驗裝置的俯視圖．

首先，圖中固定兩個小球m的r形架，可使m、m’之間微小的萬有引力產生較大的力矩，使金屬絲產生一定角度的偏轉臼，這是一次“放大”效應．

其次，為了使金屬絲的微小形變加以“放大”，卡文迪許用從1發出的光線射到平面鏡M上，在平面鏡偏轉θ角時，反射光線偏轉2θ角，可以得出光點在刻度尺上移動的弧長s＝2θR，增大小平面鏡M到刻度尺的距離R，光點在刻度尺上移動的弧長S就相應增大，這又是一次“放大”效應．由于多次巧妙“放大”，才使微小的萬有引力顯示并測量出來．除“放大法”外，物理上觀察實驗效果的方法，還包括“轉換法”、“對比法”等．

深刻認識卡文迪許實驗的意義

(1)卡文迪許通過改變質量和距離，證實了萬有引力的存在及萬有引力定律的正確性．

(2)第一次測出了引力常量，使萬有定律能進行定量計算，顯示出真正的實用價值．

(3)標志著力學實驗精密程度的提高，開創了測量弱力的新時代．

(4)表明：任何規律的發現總是經過理論上的推理和實驗上的反復驗證才能完成．

3．萬有引力定律的適用條件

例1、如下圖所示，在半徑R＝20cm、質量M＝168kg的均勻銅球中，挖去一球形空穴，空穴的半徑為要，并且跟銅球相切，在銅球外有一質量m＝1kg、體積可忽略不計的小球，這個小球位于連接銅球球心跟空穴中心的直線上，并且在空穴一邊，兩球心相距是d＝2m，試求它們之間的相互吸引力．

解： 完整的銅球跟小球m之間的相互吸引力為

這個力F是銅球M的所有質點和小球m的所有質點之間引力的總合力，它應該等于被挖掉球穴后的剩余部分與半徑為婁的銅球對小球m的吸引力　 　　F=F₁+F₂．

式中F₁是挖掉球穴后的剩余部分對m的吸引力，F₂是半徑為R／2的小銅球對m的吸引力。因為，

所以挖掉球穴后的剩余部分對小球的引力為F₁＝F－F₂＝2.41×10^－9N

例2、深入地球內部時物體所受的引力

假設地球為正球體，各處密度均勻．計算它對球外物體的引力，可把整個質量集中于球心．如果物體深入地球內部，如何計算它所受的引力?

如右圖所示，設一個質量為m的物體(可視為質點)在地層內離地心為r的A處．為了計算地球對它的引力，把地球分成許多薄層．設過A點的對頂錐面上兩小塊體積分別為△V₁、△V₂．當△V₁和△V₂很小時，可以近似看成圓臺．

已知圓臺的體積公式

式中R₁和R₂分別是上、下兩底面的半徑．

當圓臺很小很薄時，且H＜＜　a，H＜＜　b時，R₁≈R₂≈R．那么V＝πHR²

根據萬有引力定律

所以，即兩小塊體積的物體對A處質點的引力大小相等，且方向相反，它們的合力為零．

當把地球分成許多薄層后，可以看到，位于A點以外的這一圈地層(右圖中用斜線表示)對物體的引力互相平衡，相當于對A處物體不產生引力，對A處物體的引力完全由半徑為r的這部分球體產生．引力大小為

即與離地心的距離成正比．

當物體位于球心時，r=0，則F_r＝O．它完全不受地球的引力．

所以，當一個質量為m的物體從球心(r＝0)逐漸移到球外時，它所受地球的引力F隨r的變化關系如右圖所示．即先隨r的增大正比例地增大；后隨r的增大，按平方反比規律減小；當r＝R₀(地球半徑)時，引力．

2．萬有引力定律的檢驗

牛頓通過對月球運動的驗證，得出萬有引力定律，開始時還只能是一個假設，在其后的一百多年問，由于不斷被實踐所證實，才真正成為一種理論．其中，最有效的實驗驗證有以下四方面．

⑴．地球形狀的預測．牛頓根據引力理論計算后斷定，地球的赤道部分應該隆起，形狀像個橘子．而笛卡爾根據旋渦假設作出的預言，地球應該是兩極伸長的扁球體，像個檸檬．

1735年，法國科學院派出兩個測量隊分赴亦道地區的秘魯(緯度φ＝20°)和高緯度處的拉普蘭德(φ＝66°)，分別測得兩地1°緯度之長為：赤道處是110600m，兩極處是111900m．后來，又測得法國附近緯度1°的長度和地球的扁率．大地測量基本證實了牛頓的預言，從此，這場“橘子與檸檬”之爭才得以平息．

⑵．哈雷彗星的預報．英國天文學家哈雷通過對彗星軌道的對照后認為，1682年出現的大彗星與1607年、1531年出現的大彗星實際上是同一顆彗星，并根據萬有引力算出這個彗星的軌道，其周期是76年．哈雷預言，1758年這顆彗星將再次光臨地球．于是，預報彗星的回歸又一次作為對牛頓引力理論的嚴峻考驗．

后來，彗星按時回歸，成為當時破天荒的奇觀，牛頓理論又一次被得到證實．

⑶．海王星的發現．

⑷．萬有引力常量的測定．

由此可見，一個新的學說決不是一蹴而就的，也只有通過反復的驗證，才能被人們所普遍接受．

1．萬有引力定律發現的思路、方法

　　 開普勒解決了行星繞太陽在橢圓軌道上運行的規律，但沒能揭示出行星按此規律運動的原因．英國物理學家牛頓(公元1642-1727)對該問題進行了艱苦的探索，取得了重大突破．

　　 首先，牛頓論證了行星的運行必定受到一種指向太陽的引力．

　　 其次，牛頓進一步論證了行星沿橢圓軌道運行時受到太陽的引力，與它們的距離的二次方成反比．為了在中學階段較簡便地說明推理過程，課本中是將橢圓軌道簡化為圓形軌道論證的．

　　 第三，牛頓從物體間作用的相互性出發，大膽假設并實驗驗證了行星受太陽的引力亦跟太陽的質量成正比．因此得出：太陽對行星的行力跟兩者質量之積成正比．

最后，牛頓做了著名的“月一地”檢驗，將引力合理推廣到宇宙中任何兩物體，使萬有引力規律賦予普遍性．

13. 如圖10所示，一個彈簧臺秤的秤盤和彈簧質量均不計，盤內放一個質量的靜止物體P，彈簧的勁度系數。現施加給P一個豎直向上的拉力F，使P從靜止開始向上做勻加速運動。已知在頭0.2s內F是變力，在0.2s以后，F是恒力，取，求拉力F的最大值和最小值。