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1．定義：實現　　 向　　 能轉化的裝置(在外加電場的作用下使電解質發生氧化還原反應)

15．(2008·北京豐臺)已知x＝1是函數f(x)＝mx³－3(m+1)x²+nx+1的一個極值點，其中m，n∈R，m<0.

(1)求m與n的關系式；

(2)求f(x)的單調區間；

(3)當x∈[－1,1]時，函數y＝f(x)的圖象上任意一點的切線斜率恒大于3m，求m的取值范圍．

解：(1)f′(x)＝3mx²－6(m+1)x+n.

∵x＝1是函數f(x)＝mx³－3(m+1)x²+nx+1的一個極值點．

∴f′(1)＝0，即3m－6(m+1)+n＝0.

∴n＝3m+6.

(2)由(1)知f′(x)＝3mx²－6(m+1)x+3m+6＝3m(x－1)，

當m<0時，有1>1+，

所以，當m<0時，f(x)在上單調遞減，在上單調遞增，在(1，+ ∞)上單調遞減．

(3)由已知，得f′(x)>3m，

即mx²－2(m+1)x+2>0.

∵m<0，∴x²－2x+<0，

x∈[－1,1]．(*)

設g(x)＝x²－2x+，函數圖象開口向上．

由題意，知(*)式恒成立．

∴

∴∴m>－.

又m<0，∴－<m<0，即m的取值范圍為.

14．已知函數y＝f(x)對任意x，y∈R均有f(x)+f(y)＝f(x+y)，且當x>0時，f(x)<0，f(1)＝－.

(1)判斷并證明f(x)在R上的單調性；

(2)求f(x)在[－3,3]上的最值．

解：(1)f(x)在R上是單調遞減函數．

證明如下：

令x＝y＝0，f(0)＝0，令y＝－x可得：

f(－x)＝－f(x)，在R上任取x₁<x₂，

則x₂－x₁>0，

∴f(x₂)－f(x₁)＝f(x₂)+f(－x₁)＝f(x₂－x₁)．

又∵x>0時，f(x)<0，

∴f(x₂－x₁)<0，即f(x₂)<f(x₁)．

由定義可知f(x)在R上為單調遞減函數，

(2)∵f(x)在R上是減函數，

∴f(x)在[－3,3]上也是減函數．

∴f(－3)最大，f(3)最小．

f(3)＝f(2)+f(1)＝f(1)+f(1)+f(1)

＝3×(－)＝－2.

∴f(－3)＝－f(3)＝2.

即f(x)在[－3,3]上最大值為2，最小值為－2.

13．(2008·青島調研)已知f(x)＝(x≠a)．

(1)若a＝－2，試證f(x)在(－∞，－2)內單調遞增；

(2)若a>0且f(x)在(1，+∞)內單調遞減，求a的取值范圍．

(1)證明：任設x₁<x₂<－2，

則f(x₁)－f(x₂)＝－

＝.

∵(x₁+2)(x₂+2)>0，x₁－x₂<0，

∴f(x₁)<f(x₂)，

∴f(x)在(－∞，－2)內單調遞增．

(2)解：任設1<x₁<x₂，則

f(x₁)－f(x₂)＝－＝

∵a>0，x₂－x₁>0，

∴要使f(x₁)－f(x₂)>0，只需(x₁－a)(x₂－a)>0恒成立，∴a≤1.

綜上所述知0<a≤1.

12．(2008·北京市西城區抽樣測試)已知函數f(x)＝x|x－2|.

(1)寫出f(x)的單調區間；

(2)解不等式f(x)<3.

(3)(理)設a>0，求f(x)在[0，a]上的最大值．

(文)設0<a<2，求f(x)在[0，a]上的最大值．

解：(1)f(x)＝x|x－2|＝

∴f(x)的單調遞增區間是(－∞，1]和[2，+∞)；

單調遞減區間是[1,2]．

(2)∵x|x－2|<3⇔

或⇔2≤x<3或x<2，

∴不等式f(x)<3的解集為{x|x<3}．

(3)(理)①當0<a<1時，f(x)是[0，a]上的增函數，此時f(x)在[0，a]上的最大值是f(a)＝a(2－a)；

②當1≤a≤2時，f(x)在[0,1]上是增函數，在[1，a]上是減函數，此時f(x)在[0，a]上的最大值是f(1)＝1；

③當a>2時，令f(a)－f(1)＝a(a－2)－1＝a²－2a－1>0，解得a>1+.

ⅰ.當2<a≤1+時，此時f(a)≤f(1)，f(x)在[0，a]上的最大值是f(1)＝1；

ⅱ.當a>1+時，此時f(a)>f(1)，f(x)在[0，a]上的最大值是f(a)＝a(a－2)．

綜上，當0<a<1時，f(x)在[0，a]上的最大值是a(2－a)；當1≤a≤1+時，f(x)在[0，a]上的最大值是1；當a>1+時，f(x)在[0，a]上的最大值是a(a－2)．

(文)①當0<a<1時，f(x)是[0，a]上的增函數，此時f(x)在[0，a]上的最大值是f(a)＝a(2－a)；

②當1≤a<2時，f(x)在[0,1]上是增函數，在[1，a]上是減函數，此時f(x)在[0，a]上的最大值是f(1)＝1.

11．(2008·西北工大附中三模)函數f(x)＝log_a－1(a+3－ax)在(0,3)上單調遞增，則a∈________.

答案：

解析：設g(x)＝a+3－ax，則根據題意

得1<a≤，故填.

10．若f(x)＝－x²+2ax與g(x)＝在區間[1,2]上都是減函數，則a的取值范圍是________．

答案：(0,1]

解析：f(x)＝－(x－a)²+a²，當a≤1時，f(x)在[1,2]上是減函數，g(x)＝，當a>0時，g(x)在[1,2]上是減函數，則a的取值范圍是0<a≤1.

9．(2009·北京市東城區質檢)函數y＝log(x²－3x)的單調遞減區間是________．

答案：(3，+∞)

解析：函數t＝x²－3x(t>0)的單調遞增區間是(3，+∞)，由復合函數的單調性判斷法則，函數y＝log(x²－3x)的單調遞減區間是(3，+∞)．

8．已知f(x)＝是R上的增函數，那么a的取值范圍是(　)

A．(1，+∞)　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．(1，]

C．(1,2)　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．[，2)

答案：D

解析：依題意得

解得a的取值范圍是≤a<2，故選D.

7．(2008·重慶一模)設f(x)是定義在R上以2為周期的偶函數，已知x∈(0,1)時，f(x)＝log(1－x)，則函數f(x)在(1,2)上(　)

A．是增函數，且f(x)<0　 　　　　　　　　　　　　　　　 B．是增函數，且f(x)>0

C．是減函數，且f(x)<0　 　　　　　　　　　　　　　　　 D．是減函數，且f(x)>0

答案：D

解析：f(x)是定義在R上以2為周期的偶函數，由x∈(0,1)時，f(x)＝log(1－x)為增函數且f(x)>0得函數f(x)在(2,3)上也為增函數且f(x)>0，而直線x＝2為函數的對稱軸，則函數f(x)在(1,2)上是減函數，且f(x)>0，故選D.