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7.(2008·全國Ⅱ文)設(shè)向量a=(1,2),b=(2,3)，若向量a+b與向量c=(-4,-7)共線，則=　　　　 .

答案　 2

6.設(shè)0≤＜2，已知兩個(gè)向量=(cos，sin)，=(2+sin，2-cos)，則向量長度的最大值是　　　　　 .

答案　 3

5.(2008·遼寧文)已知四邊形ABCD的頂點(diǎn)A(0，2)、B(-1，-2)、C(3，1)，且=2，則頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為　　　　 .

答案　

4.(2007·北京文)已知向量a=(2,4),b=(1,1),若向量b⊥(a+b)，則實(shí)數(shù)的值是　　　　 .

答案　 -3

3.已知向量=(3,-2),=(-5,-1),則=　　　　　 .

答案　

2.設(shè)a、b是不共線的兩個(gè)非零向量，已知=2a+pb，=a+b，=a-2b.若A、B、D三點(diǎn)共線，則

p的值為　　　　 .

答案　 -1

1.已知向量a=(2,3),b=(-1,2)，若ma+nb與a-2b共線，則=　　　　 .

答案　 -

12.(2008·湛江模擬)如圖所示，已知長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2，AA₁=4，

E是棱CC₁上的點(diǎn)，且BE⊥B₁C.

(1)求CE的長；

(2)求證：A₁C⊥平面BED；

(3)求A₁B與平面BDE所成角的正弦值.

(1)解　 如圖所示，以D為原點(diǎn)，DA、DC、DD₁所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz.

∴D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(2，2，0)，

C(0，2，0)，A₁(2，0，4)，

B₁(2，2，4)，C₁(0，2，4)，D₁(0，0，4).

設(shè)E點(diǎn)坐標(biāo)為(0，2，t)，則=(-2，0，t)，=(-2，0，-4).

∵BE⊥B₁C，

∴·=4+0-4t=0.∴t=1，故CE=1.

(2)證明　 由(1)得，E(0，2，1)，=(-2，0，1)，

又=(-2，2，-4)，=(2，2，0)，

∴·=4+0-4=0，

且·=-4+4+0=0.

∴⊥且⊥，即A₁C⊥DB，A₁C⊥BE，

又∵DB∩BE=B，∴A₁C⊥平面BDE.

即A₁C⊥平面BED.

(3)解　 由(2)知=(-2，2，-4)是平面BDE的一個(gè)法向量.又=(0，2，-4),

∴cos〈,〉==.

∴A₁B與平面BDE所成角的正弦值為.

11.如圖所示，在三棱錐P-ABC中，AB⊥BC，AB=BC=kPA，點(diǎn)O、D分別是AC、PC的中點(diǎn)，

OP⊥底面ABC.

(1)若k=1，試求異面直線PA與BD所成角余弦值的大小；

(2)當(dāng)k取何值時(shí)，二面角O-PC-B的大小為？

解　 ∵OP⊥平面ABC，又OA=OC，AB=BC，

從而OA⊥OB，OB⊥OP，OA⊥OP，

以O(shè)為原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系O-xyz.

(1)設(shè)AB=a，則PA=a，PO=a，

A(a，0，0)，B(0，a，0)，

C(-a，0，0)，P(0，0，a)，

則D(-a，0，a).

∵=(a，0，-a )，=(-a，-a，a)，

∴cos〈,〉===-,

則異面直線PA與BD所成角的余弦值的大小為.

(2)設(shè)AB=a，OP=h，∵OB⊥平面POC，

∴=(0，a，0)為平面POC的一個(gè)法向量.

不妨設(shè)平面PBC的一個(gè)法向量為n=(x，y，z)，

∵A(a，0，0)，B(0，a，0)，C(-a，0，0)，P(0，0，h)，

∴=(-a,- a,0),=(- a,0,-h),

由

不妨令x=1，則y=-1，z=-，

即n=(1,-1,- ),則cos=

==2+=4h=a,

∴PA===a,

而AB=kPA,∴k=.

故當(dāng)k=時(shí),二面角O-PC-B的大小為.

10.在五棱錐P-ABCDE中，PA=AB=AE=2a，PB=PE=2a，BC=DE=a，∠EAB=∠ABC=

∠DEA=90°.

(1)求證：PA⊥平面ABCDE；

(2)求二面角A-PD-E的余弦值.

(1)證明　 以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以AB、AE、AP所在直線分別為x、y、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，則由已知得

A(0，0，0)，P(0，0，2a)，

B(2a，0，0)，C(2a，a，0)，

D(a，2a，0)，E(0，2a，0).

∴=(0，0，2a)，=(2a，0，0)，=(0，2a，0)，

∴·=0·2a+0·0+2a·0=0，

∴⊥.同理⊥.

又∵AB∩AE=A，∴PA⊥平面ABCDE.

(2)解　 設(shè)平面PAD的法向量為m=(1,y,z),

則m·=0，得a+2ay=0，∴y=-.

又m·=0，得2az=0，∴z=0.

∴m=(1，-，0).

再設(shè)平面PDE的法向量為n=(x,1,z),

而=(a，0，0)，=(a，2a，-2a)，

則n·=0，得ax=0，∴x=0.

又n·=0，得ax+2a-2az=0，∴z=1.

∴n=(0，1，1).

令二面角A-PD-E的平面角為，

則cos=-==，

故二面角A-PD-E的余弦值是.