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1.已知集合,,那么集合為（   ）

解：（文）（I）設橢圓C的方程為，則由題意知b = 1.

∴橢圓C的方程為         ……5分    

   （II）方法一：設A、B、M點的坐標分別為

易知F點的坐標為（2，0）.

∴               

將A點坐標代入到橢圓方程中，得

去分母整理得 

同理，由可得

是方程的兩個根，

          ……12分

方法二：設A、B、M點的坐標分別為又易知F點的坐標為（2，0）.

顯然直線l存在的斜率，設直線l的斜率為k，則直線l的方程是

將直線l的方程代入到橢圓C的方程中，消去y并整理得

又

   ……12分

22．解：（理）（1）設C點的坐標為

△ABC的重心，故可得M為

又

而

整理得，，即C點的軌跡是以，為焦點，實軸長為的雙曲線但不包括兩個頂點。…………4分

（2）設()

(當時，直線與雙曲線只有一個交點，不符合題意）

代入①

或或，

或或，

而x₁,x₂是方程①的兩根，

故的取值范圍為 ……8分   

（3）設

當

故猜想存在λ=2，使∠QHG=λ∠QGH總成立.

當QH不垂直x軸時，，。

∴

又∵2∠QGH與∠QHG同在（0，）∪（，π）內，∴2∠QGH=∠QHG.

故存在λ=2，使2∠QGH=∠QHG恒成立.  ……12分

21.解：（1）令，有，解得。（文）  ……5分

（理）  ……3分

（2）為定義域為D上的偶函數。

證明：令，，解得。

令，，有，∴。

又∵的定義域為D：關于原點對稱，∴為偶函數。 （文）……12分

    （理）……7分

（3）（理），。

∴，即    ①

∵在上是增函數，

∴①等價于不等式組：或，

或，∴或，

或。

故的取值范圍為，或或 （理） ……12分

20.解：(I)數列的公差為d，則

   ∵a₁，a₃，a₇成等比數列，∴，得d=0(舍去)或d=1

   ∴。  ……5分

   (Ⅱ)（文）由（Ⅰ）知

∴＜1

  ……12分

（理）證明：（1）當時，，又，等式成立。

（2）假設當時，等式成立，即，

那么，當時，

=

，即時，等式也成立。

由（1），（2）得對一切都有成立。     ……12分

19.證明：（1）連結，在中，、分別為，的中點，則

  ……3分

（2）方法一：

……6分

方法二：以、、的方向分別為、、軸的方向建立空間直角坐標系，

則、、、的坐標分別為、、、，

∴，，從而，

因而，即。

（3）∵點為的中點，且為正方形，∴，

又平面，∴，

而，∴平面，

又平面，∴，故為二面角的平面角，

在中，，，∴，

因而二面角的正切值為。  ……9分

（4）（理）

     且 

，

∴即  

=

=            ……12分

（文），，。

                                 ……12分

（Ⅱ）（理）依題意，甲答對試題數ξ的可能取值為0、1、2、3，則

，     ，

，    ，     

其分布列如下：

ξ

0

1

2

3

P

甲答對試題數ξ的數學期望                               

Eξ=．                  ……12分

（文）設甲、乙兩人考試合格的事件分別為A、B，則P(A)==， P(B)=，。

答：乙入選的概率大。……………………12分

18.解：（Ⅰ）設甲、乙兩人考試合格的事件分別為A、B，則

P(A)==， P(B)= ．                     

因為事件A、B相互獨立，

∴甲、乙兩人考試均不合格的概率為 ，

∴甲、乙兩人至少有一人考試合格的概率為 ．

答：甲、乙兩人至少有一人考試合格的概率為．          ……6分

17.解：(Ⅰ)． ，

∴，∵，∴，即，

所以此三角形為直角三角形. ……5分

(Ⅱ)．

當且僅當時取等號，此時面積的最大值為．

………………10分

16.解（理）∵當時，，∴數列為等差數列，且公差，

從而，又，∴，故當時，數列的通項；

…

。

（文）∵當時，，∴數列為等差數列，且公差，

從而，又，∴，。