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1.若 ，且，則是（  ）

 A．第一象限角                      B．第二象限角        

C．第三象限角                      D．第四象限角

2. 設平面向量，則（    ）

  A．             B．                   C．(7,7)     D．

3. 已知函數（且），其反函數為.若，則的值是（   ）

  A．-1             B．1            C．2              D．3

4.某學校有教師200人，其中高級教師60人，一級教師100人，二級教師40人，為了了解教師的健康狀況，從中抽取40人的一個樣本，用分層抽樣的方法抽取高級、一級、二級教師的人數分別是（   ）

  A．20，12，8           B．12，20，8           C．15，15，10           D．14，12，14

5.已知是兩條不同直線， 是兩個不同平面，下列命題中的真命題是 （   ）

   A．如果，那么

     B．如果，那么

C．如果共面，那么∥

D．如果∥,，,那么

6.從原點向圓引兩條切線，則兩條切線所夾的劣弧的弧長是（   ）

     A．            B．          C．          D．

7. 在上可導的函數的圖象如圖所示，則關于的不等式的解集為(   ).

Ａ． Ｂ．        

Ｃ．  Ｄ．

8. 在上定義運算：．若關于的不等式的解集是集合的子集，則實數的取值范圍是（  ）

A．            B.          C.          D.

第Ⅱ卷（ 共110分）

注意事項：1．用鋼筆或圓珠筆將答案直接寫在試卷上.

2．答卷前將密封線內的項目填寫清楚.

題 號

二

                   三

總分

9

10

11

12

13

14

15

  16

  17

  18

  19

  20

分 數

得分

評卷人

9．已知直線與直線平行，則         .

10.的展開式中常數項是            .

11. 已知實數滿足不等式組，那么函數的最大值是        ．

12.從5名男生和2名女生中選3人參加英語演講比賽，則必有女生參加的選法共有         .(用數字作答)

13. 從數列中，順次取出第2項、第4項、第8項、…、第項、…，按原來的順序組成一個新數列，則的通項              ，前5項和等于_________________ ．

14．已知雙曲線的右焦點為，為雙曲線左準線上的點，且交雙曲線于第一象限一點，若為坐標原點，且垂直平分，則雙曲線的離心率=           ．

得分

評卷人

1

15．（本小題滿分13分）

在中，角所對的邊長分別，且滿足.

（Ⅰ）求角B的值；

（Ⅱ）若，求的值.

得分

評卷人

16．（本小題滿分13分）

某高等學校自愿獻血的50位同學的血型分布的情況如下表：

血型

A

B

AB

O

人數

20

10

5

15

（Ⅰ）從這50位同學中隨機選出2人，求這2人血型都為A型的概率；

（Ⅱ）從這50位同學中隨機選出2人，求這2人血型相同的概率.

得分

評卷人

17．（本小題滿分13分）

如圖，在正四棱柱ABCD―A₁B₁C₁D₁中，已知AA₁=4，AB=2，點E在棱CC₁上，且CE=1.

   （Ⅰ）求證：BE∥平面AA₁D₁D；

   （Ⅱ）求二面角B―ED―C的大小；

   （Ⅲ）求證：A₁C⊥平面BDE．

得分

評卷人

18. （本小題滿分13分）

設數列的前項和為,且，數列滿足，點在直線上，.

（Ⅰ）求數列，的通項公式；

（Ⅱ）設，求數列的前項和.

得分

評卷人

19. （本小題滿分14分）

已知函數的圖象過點，且在點處的切線與直線垂直.

（Ⅰ）若，試求函數的單調區間；

（Ⅱ）若，且函數在上單調遞增，試求的范圍.

得分

評卷人

20．（本小題滿分14分）

已知點為拋物線的焦點，點是準線上的動點，直線交拋物線于兩點，若點的縱坐標為，點為準線與軸的交點．

（Ⅰ）求直線的方程；

（Ⅱ）求的面積范圍；

（Ⅲ）設，，求證為定值．

  北京市朝陽區高三統一考試

數學試卷答案(文科)      2009.2

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

答案

D

B

C

 B

C

C

A

D

9.    10. 15     11. 4      12.25    13．；   14.

15. （Ⅰ）解：  因為，所以.

所以.即=0.在三角形中，

,所以=0.得.    ………………………………………………6分

（Ⅱ）因為，

所以, ，.

所以.     …………………………………13分

16. 解：（Ⅰ）記“這2人血型都為A型”為事件A，那么，

即這2人血型都為A型的概率是．       …………………………………6分

（Ⅱ）記“這2人血型相同”為事件B，那么，

所以這2人血型相同的概率是．            …………………………………13分

17．解法（一）

（Ⅰ）證明： 由已知，ABCD―A₁B₁C₁D₁為正四棱柱，

所以平面BB₁C₁C∥平面AA₁D₁D,

又因為BE平面BB₁C₁C，

所以，BE∥平面AA₁D₁D．                   ………………………………4分

（Ⅱ）解：如圖1，過C作CH⊥ED于H，連接BH．

因為ABCD―A₁B₁C₁D₁為正四棱柱，

所以BC⊥平面CC₁D₁D，

所以CH是斜線BH在面CC₁D₁D上的射影,

由三垂線定理可知，BH⊥ED．

    所以∠BHC是二面角B―ED―C的平面角．

在RtECD中，易知．

因為, 所以．

在RtBCH中，,

所以.

故二面角B―ED―C的大小是．       …………………………………9分

（Ⅲ）如圖2，連結AC交BD于點O,

因為ABCD―A₁B₁C₁D₁為正四棱柱，

AC⊥BD，AA₁⊥平面ABCD，

由三垂線定理可知，A₁C⊥BD．

連結B₁C，因為A₁B₁⊥平面B₁BCC₁，

所以B₁C 是A₁C在平面BB₁C₁C上的射影．

    設B₁C交BE于F,

由已知BB₁=AA₁=4，BC=AB=2，CE=1,

所以，所以BCE∽B₁BC.   

所以∠CBE=∠BB₁C. 

又因為∠CBE+∠B₁BE=90°,  所以∠BB₁C +∠B₁BE=90°,

所以∠B₁FB=90°,    所以B₁C⊥BE.

由三垂線定理可知，A₁C⊥BE，又，

所以A₁C⊥平面BDE．     …………………………………14分

解法（二）建立空間直角坐標系A―xyz，如圖,

（Ⅰ）證明：

依題意可知E（2，2，1）,B（2，0，0）, 所以=（0，2，1）．

又因為, 為平面AA₁D₁D的法向量．

且，

所以，  而BE平面AA₁D₁D，

所以，BE∥平面AA₁D₁D．               …………………………………3分

（Ⅱ）因為E（2，2，1）,又B（2,0,0）,D(0,2,0),

所以=（0，2，1）, ．

  設平面BDE的法向量為,

由得  所以

所以．又面,所以為平面CDE的法向量．

因為,所以．

由圖可知,二面角的平面角小于,

所以二面角B―ED―C的大小是．   …………………………………9分

（Ⅲ）解：由題意B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），A₁（0，0，4），

因為CE=1，則E（2，2，1），

所以,, ．

由，得A₁C⊥BD,

由，得A₁C⊥BE,

又，所以A₁C⊥平面BDE．     …………………………………13分

18.解：（Ⅰ）由可得，兩式相減得

.

又 ,所以.

  故是首項為，公比為的等比數列.

  所以.

  由點在直線上，所以.

  則數列是首項為1，公差為2的等差數列.

則.               …………………………………6分

（Ⅱ）因為，所以.

     則,兩式相減得：

.

所以.    …………………………………13分

19. 解：（Ⅰ）因為的圖象過點，所以

 又，且在點處的切線與直線垂直.

  所以，且，所以所以

  令顯然當或時，；

當時，.則函數的單調增區間是，函數的單調減區間是.            …………………………………6分

（Ⅱ）令，得.

  因為，所以當或時，，

 即函數的單調增區間是.

所以

  又由（Ⅰ）知： ，

所以

所以                         …………………………………13分

20.解：（Ⅰ）由題知點的坐標分別為，，

于是直線的斜率為，

所以直線的方程為，即為．…………………3分

（Ⅱ）設兩點的坐標分別為，

由得，

所以，．

于是．

點到直線的距離，

所以.

因為且，于是，

所以的面積范圍是．         …………………………………9分

（Ⅲ）由（Ⅱ）及，，得

，，

于是，（）.

所以．

所以為定值．               ……………………………………………14分