Question

11．已知函數h（x）=x³-x+6lnx圖象上任意不同的兩點的連線的斜率都大于m，則實數m的范圍為（-∞，8）．

Answer 1

分析 求出原函數的導函數，由導數的幾何意義結合已知得到3x²-1+$\frac{6}{x}$≥m，然后利用基本不等式求最值，從而得到m的范圍．

解答 解：由h（x）=x³-x+6lnx，得h′（x）=3x²-1+$\frac{6}{x}$（x＞0），
∵h（x）=x³-x+6lnx圖象上任意不同的兩點的連線的斜率都大于m，
由導數的幾何意義得3x²-1+$\frac{6}{x}$＞m，
∵3x²+$\frac{3}{x}$+$\frac{3}{x}$≥3$\root{3}{3{x}^{2}•\frac{3}{x}•\frac{3}{x}}$=9，當且僅當x=1時取等號，
∴m＜9-1=8，
∴實數m的取值范圍是（-∞，8）．
故答案為：（-∞，8）．

點評 本題考查利用導數研究曲線上某點的切線方程，考查了導數的幾何意義，以及基本不等式，是中檔題．