Question

16．已知函數$f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜\frac{π}{2}）$，該函數圖象過點C$（\frac{3π}{8}，0）$，函數圖象上與點C相鄰的一個最高點為D$（\frac{π}{8}，2）$，
（1）求該函數的解析式f（x）．
（2）求函數f（x）在區間$[-\frac{π}{4}，\frac{π}{4}]$上的最值及其對應的自變量x的值．

Answer 1

分析 （1）通過函數的最高點求得A=2，然后由CD對應橫坐標的差得到周期，從而求得ω，通過經過的點求得φ；
（2）由（1）的解析式得到ωx+φ的范圍，結合三角函數的性質求最值以及自變量值．

解答 解：因為函數$f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜\frac{π}{2}）$，該函數圖象過點C$（\frac{3π}{8}，0）$，函數圖象上與點C相鄰的一個最高點為D$（\frac{π}{8}，2）$，
所以A=2，且$\frac{T}{4}=\frac{3π}{8}-\frac{π}{8}=\frac{π}{4}$，T=π，所以$ω=\frac{2π}{T}=\frac{2π}{π}$=2，且sin（2×$\frac{π}{8}$+φ）=1，所以φ=$\frac{π}{4}$；
所以f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{4}$）；
（2）由（1）得到2x+$\frac{π}{4}$∈[$-\frac{π}{4}，\frac{3π}{4}$]，所以當2x+$\frac{π}{4}$=$-\frac{π}{4}$即x=$-\frac{π}{4}$時，f（x）的最小值為2×$（-\frac{\sqrt{2}}{2}）=-\sqrt{2}$；
當2x+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$，即x=$\frac{π}{8}$時，f（x）最大值為2．

點評 本題考查了三角函數的解析式的求法以及由三角函數解析式求最值；關鍵是熟練掌握正弦函數的圖象和性質．