Question

1．已知函數(shù)f（x）=aln（x+1）+bx+1
（1）若函數(shù)y=f（x）在x=1處取得極值，且曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線與直線2x+y-3=0平行，求a的值；
（2）若$b=\frac{1}{2}$，試討論函數(shù)y=f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到關(guān)于a，b的方程組，解出即可；（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可．

解答 解：（1）f（x）=aln（x+1）+bx+1，
∴f′（x）=$\frac{a}{x+1}$+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f′（1）=0}\\{f′（0）=-2}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}a=-4\\ b=2\end{array}\right.$
（2）$f（x）=aln（x+1）+\frac{1}{2}x+1$，
f′（x）=$\frac{x+2a+1}{2（x+1）}$，
令f′（x）=0    則x=-2a-1，
-2a-1≤-1即a≥0時，f′（x）＞0，
∴f（x）在（-1，+∞）遞增，
-2a-1＞-1即a＜0時：
令f′（x）＜0，解得：x∈（-1，-2a-1），
令f′（x）＞0，解得：x∈（-2a-1，+∞），
∴f（x）在（-1，-2a-1）遞減，在（-2a-1，+∞）遞增．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，考查切線方程問題，是一道中檔題．