Question

10．已知函數f（x）的定義域為[-1，5]，部分對應值如下表，f（x）的導函數y=f'（x）的圖象如圖所示，給出關于f（x）的下列命題：

x	-1	0	2	4	5
f（x）	1	2	0	2	1

①函數y=f（x）在x=2時取極小值；
②函數f（x）在[0，1]上是減函數，在[1，2]上是增函數；
③當1＜a＜2時，函數y=f（x）-a有3個零點；
④如果當x∈[-1，t]時，f（x）的最大值是2，那么t的最小值為0．
所有正確命題的序號為①④．

Answer 1

分析 由函數f（x）在x=2處的附近導數左負右正，結合極值的定義，即可判斷①；
由導數與單調性的關系，即可判斷②；
由f（x）的圖象和y=a的交點個數，即可判斷③；
由f（x）的圖象，結合單調性，即可得到t的最小值，即可判斷④．

解答 解：由導數的圖象可得，函數f（x）在x=2處的附近導數左負右正，
即為極小值點，則f（2）取得極小值，故①正確；
由導數的圖象可得，f（x）在（0，2）導數為負的，
則f（x）在（0，2）遞減，故②錯；
由導數的圖象可得f（x）在（-1，0）遞增，在（0，2）遞減，
在（2，4）遞增，在（4，5）遞減，如圖所示．
當1＜a＜2時，y=f（x）的圖象與y=a有四個交點，
函數y=f（x）-a有4個零點，故③錯；
如果當x∈[-1，t]時，f（x）的最大值是2，
由f（x）的圖象可得t的最小值為0，故④正確．
故答案為：①④．

點評 本題考查導數的運用：求單調性和極值、最值，考查函數方程的轉化思想和數形結合的思想方法，考查判斷能力和觀察能力，屬于中檔題．