Question

11．設數列{a_n}滿足a₁=2，a_n+1=2a_n-n+1，n∈N^*．
（1）證明：數列{a_n-n}為等比數列，并求{a_n}的通項公式；
（2）若數列b_n=$\frac{1}{{n（{a_n}-{2^{n-1}}+1）}}$，求數列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析 （1）由已知得a_n+1-（n+1）=2a_n-n+1-（n+1）=2（a_n-n），利用等比數列的通項公式即可得出．
（2）b_n=$\frac{1}{{n（{a_n}-{2^{n-1}}+1）}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，利用“裂項求和”即可得出．

解答 （1）證明：由已知得a_n+1-（n+1）=2a_n-n+1-（n+1）=2（a_n-n），
即$\frac{{{a_{n+1}}-（n+1）}}{{{a_n}-n}}=2$，
∴數列{a_n-n}為等比數列，公比為2，首項為a₁-1=1，
∴${a_n}-n={2^{n-1}}$，∴${a_n}={2^{n-1}}+n$．
（2）解：b_n=$\frac{1}{{n（{a_n}-{2^{n-1}}+1）}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
∴S_n=$（1-\frac{1}{2}）$+$（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$．

點評 本題考查了等比數列的通項公式、“裂項求和”，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．