Question

3．如圖，已知焦點在y軸上的橢圓E的中心是原點O，離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，以橢圓E的短軸的兩端點和兩焦點所圍成的四邊形的周長為8，直線l：y=kx+m與y軸交于點M，與橢圓E交于不同兩點A，B．
（1）求橢圓E的標準方程；
（2）若$\overrightarrow{AM}=-3\overrightarrow{BM}$，求m²的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設橢圓的標準方程為：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），由題意可知：4a=8，即a=2，由離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，則c=$\sqrt{3}$，則b²=a²-c²=1，即可求得橢圓的標準方程；
（2）求出P（0，m），設A（x₁，kx₁+m），B（x₂，kx₂+m），通過直線與橢圓方程聯立，利用△＞0，推出不等式，k²-m²+4＞0．由$\overrightarrow{AM}=-3\overrightarrow{BM}$，得到x₁=-3x₂，由3（x₁+x₂）²+4x₁x₂=0，求得m²k²+m²-k²-4=0，則k²=$\frac{4-{m}^{2}}{{m}^{2}-1}$，然后求解m²的取值范圍．

解答 解：（1）由橢圓E焦點在y軸上，設橢圓的標準方程為：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），
由橢圓E的短軸的兩端點和兩焦點所圍成的四邊形的周長為4a，
∴4a=8，即a=2，
離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，則c=$\sqrt{3}$，
由b²=a²-c²=1．…（2分）
∴橢圓E的標準方程為$\frac{{y}^{2}}{4}+{x}^{2}=1$；…（4分）
（2）根據已知得P（0，m），設A（x₁，kx₁+m），B（x₂，kx₂+m），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{{x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，整理得（k²+4）x²+2mkx+m²-4=0，
由已知得△=4m²k²-4（k²+4）（m²-4）＞0，
即k²-m²+4＞0．
由韋達定理可知：x₁+x₂=-$\frac{2km}{4+{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{{m}^{2}-4}{4+{k}^{2}}$，②
由$\overrightarrow{AM}=-3\overrightarrow{BM}$，則-x₁=3x₂，即x₁=-3x₂．
由3（x₁+x₂）²+4x₁x₂=0
∴$\frac{12{k}^{2}{m}^{2}}{（{k}^{2}+4）^{2}}$+$\frac{4（{m}^{2}-4）}{{k}^{2}+4}$=0，即m²k²+m²-k²-4=0．
當m²=1時，m²k²+m²-k²-4=0不成立．
∴k²=$\frac{4-{m}^{2}}{{m}^{2}-1}$，
∵k²-m²+4＞0，
∴$\frac{4-{m}^{2}}{{m}^{2}-1}$-m²+4＞0，即$\frac{（4-{m}^{2}）{m}^{2}}{{m}^{2}-1}$＞0．
∴1＜m²＜4，
∴m²的取值范圍為（1，4）

點評 本題考查橢圓方程的求法，直線與橢圓的位置關系的綜合應用，考查分析問題解決問題的能力，轉化思想的應用，屬于中檔題．