Question

14．如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD為正方形，EF∥AB，EF⊥EA，AB=2EF=2，∠AED=90°，AE=ED，H為AD的中點．
（1）求證：EH⊥平面ABCD；
（2）在線段BC上是否存在一點P，使得二面角B-FD-P的大小為$\frac{π}{3}$？若存在，求出BP的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）推導出AB⊥EA，AB⊥AD，從而AB⊥EH，再求出EH⊥AD．由此能證明EH⊥平面ABCD．
（2）由AD，OH，HE兩兩垂直，建立空間直角坐標系H-xyz，利用向量法能求出結果．

解答 證明：（1）因為AB∥EF，EF⊥EA，所以AB⊥EA．
因為AB⊥AD，且EA∩AD=A，所以AB⊥平面AED．
因為EH?平面AED，所以AB⊥EH．
因為AE=ED，H是AD的中點，所以EH⊥AD．
又AB∩AD=A，所以EH⊥平面ABCD．
解：（2）因為AD，OH，HE兩兩垂直，
如圖，建立空間直角坐標系H-xyz，
則A（1，0，0）D（-1，0，0），F（0，1，1），O（0，1，0），C（-1，2，0）．
設點P（m，2，0）（-1≤m＜1），
于是有$\overrightarrow{DF}=（1，1，1）$，$\overrightarrow{DP}=（m+1，2，0）$．
設平面PDF的法向量$\vec n=（x，y，z）$，則$\left\{\begin{array}{l}\vec n•\overrightarrow{DF}=0\\ \vec n•\overrightarrow{DP}=0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}x+y+z=0\\（m+1）x+2y=0\end{array}\right.$．
令x=2，得y=-（m+1），z=m-1，所以$\vec n=（2，-m-1，m-1）$．
平面BDF的法向量$\overrightarrow{OA}=（1，-1，0）$，
所以$cos\frac{π}{3}=\frac{{|\overrightarrow{OA}•\vec n|}}{{|\overrightarrow{OA}|•|\vec n|}}$，解得m=-1．
所以點P的坐標為（-1，2，0），
與點C的坐標相同，所以BP=BC=2．

點評 本題考查線面垂直的證明，考查滿足條件的點是否存在的判斷與求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．