Question

4．已知函數f（x）=$\frac{{{x^2}-1}}{x}$-klnx（x≥1）．
（1）若f（x）≥0恒成立，求k的取值范圍；
（2）若取$\sqrt{5}$=2.2361，試估計ln$\frac{5}{4}$的值．（ 精確到0.001）

Answer 1

分析 （1）$f'（x）=\frac{{{x^2}-kx+1}}{x^2}$，由此利用分類討論思想和導數性質能求出k的取值范圍．
（2）由已知得$\frac{{{x^2}-1}}{x}≥2lnx$在[1，+∞）上恒成立，由此能求出結果．

解答 解：（1）∵函數f（x）=$\frac{{{x^2}-1}}{x}$-klnx（x≥1），
∴$f'（x）=\frac{{{x^2}-kx+1}}{x^2}$．
①當-2≤k≤2時，k²-4≤0，x²-kx+1≥0恒成立，
所以x∈[1，+∞）時，f'（x）≥0，f（x）單調遞增，
f（x）≥f（1）=0恒成立．
②當k＜-2或k＞2時，f'（x）=0，
解得${x_1}=\frac{{k-\sqrt{{k^2}-4}}}{2}，{x_2}=\frac{{k+\sqrt{{k^2}-4}}}{2}$，且x₁+x₂=k，x₁•x₂=1．
（ⅰ） 若k＜-2，則x₁＜0，x₂＜0，
∴x∈[1，+∞）時，f'（x）≥0，f（x）單調遞增，f（x）≥f（1）=0恒成立．
（ⅱ） 若k＞2，則x₁＜1，x₂＞1，
當x∈（1，x₂）時，f'（x）＜0，f（x）單調遞減，f（x）＜f（1）=0，
這與f（x）≥0恒成立矛盾，
綜上所述，k的取值范圍為（-∞，2]．
（2）由（1）得$\frac{{{x^2}-1}}{x}≥2lnx$在[1，+∞）上恒成立，
取$x=\frac{{\sqrt{5}}}{4}＞1$得$2ln\sqrt{\frac{5}{4}}＜\sqrt{\frac{5}{4}}-\sqrt{\frac{4}{5}}$，
即$ln\frac{5}{4}＜\sqrt{\frac{5}{2}}-\frac{2}{{\sqrt{5}}}=\frac{{\sqrt{5}}}{10}=0.22361$，
由（1）得k＞2時，$\frac{{{x^2}-1}}{x}＜klnx$在$（{1，\frac{{k+\sqrt{{k^2}-4}}}{2}}）$時恒成立，
令$\frac{{k+\sqrt{{k^2}-4}}}{2}=\sqrt{\frac{5}{4}}$，解得$k=\frac{{9\sqrt{5}}}{10}$，
取$k=\frac{{9\sqrt{5}}}{10}＞2$，則有$\frac{{{x^2}-1}}{x}＜\frac{{9\sqrt{5}}}{10}lnx$在$（{1，\sqrt{\frac{5}{4}}}）$上恒成立，
取$x=\sqrt{\frac{5}{4}}$得$\sqrt{\frac{5}{4}}-\sqrt{\frac{4}{5}}＜\frac{{9\sqrt{5}}}{10}ln\sqrt{\frac{5}{4}}$，
∴$ln\frac{5}{4}＞\frac{2}{9}≈0.2222$，$0.2222＜ln\frac{5}{4}＜0.22361$（精確到0.001）．
取$ln\frac{5}{4}=0.223$．

點評 本題考查實數的取值范圍的求法，考查對數值的估計值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意導數性質的合理運用．