Question

19．定義在實數集R上的函數f（x）滿足：f（x-1）+f（x+1）=0，且f（2-x）-f（2+x）=0現有以下四種說法：
①2是函數f（x）的一個周期；
②f（x）的圖象關于直線x=2對稱；
③f（x）是偶函數；
④（-1，0）是函數f（x）的一個對稱中心．
其中正確說法的個數為（　　）

• A． 4
• B． 3
• C． 2
• D． 1

Answer 1

分析 分別令x=x+1和x=x+3代入f（x-1）+f（x+1）=0即可得出f（x）=f（x+4），從而得出f（x）周期為4，根據f（2-x）-f（2+x）=0可得f（x）的對稱軸為x=2，由f（x）=f（4-x）=f（-x）可得f（x）為偶函數，利用f（x）的奇偶性驗證f（1-x）+f（1+x）是否為0即可判斷對稱中心．

解答 解：∵f（x-1）+f（x+1）=0，
∴f（x）+f（x+2）=0，
∴f（x+2）+f（x+4）=0，
∴f（x）=f（x+4），
∴f（x）是以4為周期的函數；故①錯誤；
∵f（2-x）-f（2+x）=0，即f（2-x）=f（2+x），
∴f（x）的對稱軸為x=2，故②正確；
∵f（2-x）=f（2+x），∴f（x）=f（4-x），
又f（x）的周期為4，∴f（4-x）=f（-x），
∴f（x）=f（-x），∴f（x）是偶函數，故③正確；
∵f（x）是偶函數，∴f（x+1）=f（-1-x），
∵f（x-1）+f（x+1）=0，∴f（x-1）+f（-1-x）=0，
∴f（x）關于（-1，0）對稱，故④正確．
故選B．

點評 本題考查了函數周期性，對稱性，奇偶性的判斷，屬于中檔題．